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罗素与哥德尔对于连续与离散的认识

连续离散问题是哲学的基本问题，也是数学的基本问题，人们长期以来对此问题没有清晰的认识，导致问题停滞不前的根本原因在于该问题的实质是一个有限无限问题；“线段由点构成”这一数学定义所依赖的哲学思想本质是实无限思想，几何的“点”在测度性质上等同于代数的“零”.没有测度的点构成有测度的线段，这显然是矛盾的、荒谬的.正因为数学基础中存在着这个内在的矛盾，从而导致了数学中的很多奇怪、荒唐的结果，从而影响了数学确定性的形象.对连续的离散化处理，让连续变成离散，然而离散本身还是一个连续，从而实现连续、离散的辩证统一.连续性的概念哲学界、数学界一直没有清晰的定义，一直像谜一样的存在.正如罗素（Russell）在《数学原理》中所说，“连续性概念通常都被哲学家认为好像不能够进行分析.关于它，哲学家们讲了很多，其中包括黑格尔的名言：一切离散的也都是连续的，反之亦然.这种说法乃黑格尔组合对立面的惯常做法的例证，但它却被所有后来的哲学家遵从.然而，至于连续性和离散性到底作何意谓，他们一直保持着慎重的沉默；唯有一点是明显的，即不论他们实际上对其作何所指，那些意义不可能与数学或与时空哲学有关.”（张留华,p.324）

罗素对数理逻辑科学作出了重大贡献，他前后期哲学思想变化较大，在其后期著作《我的哲学的发展》中他明确地指出：“我不再以为点、瞬和质点是世界原料部分”（罗素，1982a,p.99）.因此罗素认为“点”不是现实的，从而回归到亚里士多德的观念上去.关于实数的连续性与线段的连续性之间的关系，罗素并未完全肯定这两者的等同，在《数理逻辑导论》中他指出：“在实数间存在的这一种连续性与我们在一给定时间所见的那种连续性究竟有什么关系，这问题非常困难而且复杂，我们不主张这两种连续性简单地等同……”（罗素，1982b,p.112）.著名的逻辑学家哥德尔(KurtGödel)对于实数与几何线的同构性也表示怀疑，认为几何线可能并不遵守戴德金分割定理.