在《直流超导量子干涉仪（DC-SQUID）磁控I-V特性的形成机制（1）——二端口网络模型》中，已经知道，DC-SQUID是一个由偏置电流和约瑟夫森电流驱动的二端口网络。二端口网络的传输阻抗为Z₁₁，Z₂₂， Z₁₂， Z₂₁，其中Z₁₂ = Z₂₁。因此，通过三个网络阻抗参数，建立二端口激励电流和响应电压的传输函数，即可推导出DC-SQUID内部频率相位锁定（Frequency-phase locking，FPL）机制的数学模型及其解析表达式 [1]。

（一）DC-SQUID的频率相位锁定机制

DC-SQUID的二端口模型，如图1 (a) 所示。一个DC-SQUID的二端口网络，具有稳定的I-V特性，意味着，在给定偏置电流I_b的驱动下，该二端口网络的端口上，可测得稳定平均（直流）电压V_s。

稳定的直流电压V_s出现在瑟夫森结的两端，其中的约瑟夫森电流便会以一个稳定的基波频率在振荡。频率-电压转换比例是一个常数，约为 0.483GHz/μV，详见《基于图(Graph)的5种电路分析方法（4）——超导约瑟夫森结电路的分析》一文。

也就是说，约瑟夫森电流是一个压控振荡器（Voltage-controlled oscillator，VCO），它激发一组交直流分量，驱动二端口网络，相应产生一组交直流约瑟夫森电压分量。

约瑟夫森电流和约瑟夫森电压中各种交直流分量的数学定义，如图1 (b) 和 (c) 所示。

约瑟夫森结电流同时还是一个混频器（Mixer）[1]，它将二端口网络响应的交流电压分量，以锁相放大器（Lock-in amplifier）方式，转化为约瑟夫森电流的直流分量，如图1 (d) 所示。

两个约瑟夫森电流的直流分量，其之和（i_cmm）分流了部分偏置电流I_b，调整了V_s，进而调节了振荡频率ω_rf；其之差（i_cir）抵消了部分输入磁通Φ_i，调节了两个约瑟夫森结间的相位差Δθ_dc。

最终，图1 (d)的系统，会根据给定偏置电流I_b和输入磁通Φ_i，以某个振荡频率ω_rf和相位差Δθ_dc稳定运行，实现频率相位的双重锁定，输出与频率对应的稳定的电压V_s，这就是DC-SQUID的FPL机制。

图1. DC-SQUID的二端口网络模型及其FPL机制

（二）DC-SQUID磁控I-V特性的解析式

从图1 (d) 的系统模型可推导DC-SQUID磁控I-V特性的解析表达式，如图2 (a)所示。可以看到，

1）两个约瑟夫森电流的直流分量之和，即i_cmm，形成了一个等效电导G_cmm，如图2 (b)所示。其中，G_cmm中的一部分（G_cmm1）由网络阻抗Z₁₁和Z₂₂的实部决定；另一部分（G_cmm2）由阻抗Z₁₂的实部决定，并受结间相位差 Δθ_dc 的调节。

2）两个约瑟夫森电流的直流分量之差，即i_cir，产生了一个感应磁通Φ_cir，使得输入磁通Φ_i与结间相位差Δθ_dc形成准线性关系，如图2 (c)所示。

最后，约瑟夫森电流产生的等效电导G_cmm，与两个约瑟夫森结并联电阻Z₁₁(0)再并联，共同分流偏置电流I_b，进而形成了DC-SQUID的I-V特性，如图2 (d)所示。

图2. DC-SQUID磁控I-V特性的解析表达式及其解释

结合图2 (b) 中G_cmm的表达式可知，等效电导G_cmm中的G_cmm2是结间相位差Δθ_dc和阻抗Z₁₂的函数；因此，输入磁通Φ_i 正是通过设定Δθ_dc改变G_cmm2，实现了对I-V特性的调制，而调制深度由阻抗Z₁₂的实部，即Re(Z₁₂) 决定。

该结论得到了电路数值仿真和实际器件测试的双重验证，如图3所示。

图3. 三个DC-SQUID实例的I-V特性数值仿真、解析计算与实验结果对比

（三）DC-SQUID在磁传感器电路中的等效模型

在一个如图4 (a) 所示的磁传感器电路中，DC-SQUID就表现为一个由磁控电导G_cmm和Z₁₁(0)并联的非线性电阻；相应的等效电路，就如图4(b) 所示；该等效电路图，充分诠释了DC-SQUID作为MFET在磁传感器电路中的物理意义。

图4. DC-SQUID在磁传感器电路中的磁控电阻模型

（四）小结

DC-SQUID内部是一个以FPL机制运行的二端口网络。其中，约瑟夫森结兼具压控振荡器（VCO）和混频器（Mixer）功能，实现对二端口网络三个阻抗的锁相放大；混频输出的约瑟夫森电流直流分量，再反馈调节VCO的频率和相位。待VCO的频率和相位双重锁定后，稳定的基波频率所对应的平均电压V_s，与给定的偏置I_b和输入磁通Φ_i，就定义了DC-SQUID的磁控I-V特性。

一个DC-SQUID具有一个稳定的I-V特性，其含义是：

1）DC-SQUID内部的FPL机制，在给定的偏置I_b和输入磁通Φ_i驱动下，实现了约瑟夫森电流振荡频率和相位的锁定；锁定的基波频率与平均电压V_s相对应，其比例常数为 0.483GHz/μV。

2）DC-SQUID在外部表现为一个由磁控电导G_cmm和Z₁₁(0)并联的非线性电阻。其中，电导G_cmm是二端口网络的三个阻抗实部的投影；部分电导G_cmm2 受到输入磁通Φ_i的调节，调节深度由Re(Z₁₂)决定。

因此，DC-SQUID的FPL机制及其解析式，

1）对DC-SQUID芯片设计的启示是：通过提取DC-SQUID二端口网络的三个阻抗Z₁₁，Z₂₂，Z₁₂，预测I-V特性，评估和优化版图设计。

2）对DC-SQUID磁测应用的启示是：用磁控电阻模型构造磁传感器电路，便于理解和推广。深刻理解FPL机制，理解感应阻抗、阻抗波动、传导和辐射干扰等外部因素改变I-V特性的机理，便于定位和解决SQUID在实际应用中的电磁兼容问题。

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半导体场效应管（Field effect transistor，FET）的I-V特性是电荷/电压调制的，超导MFET的I-V特性是磁通/电流调制的；二者及其应用，展现了电荷-磁通对偶关系。

理解半导体FET及其应用，便能理解超导MFET及其应用。

[1]   Y. L. Wang, "Frequency-phase-locking mechanism inside DC SQUIDs and the analytical expression of current-voltage characteristics," Physica C-Superconductivity and Its Applications, vol. 609, Jun 15 2023.

[2] Y. L. Wang, " Introduction to SQUID Sensors for Electronics Engineers," arXiv:2310.00573, pp. 1-53, 2023. https://doi.org/10.48550/arXiv.2310.00573.