超导约瑟夫森结电路，是由一组约瑟夫森结通过超导线互连构成的网络。典型的超导约瑟夫森结电路有：用于微弱磁信号探测的超导量子干涉仪（superconducting quantum interference device，SQUID），用于制作高速低功耗数字集成电路的单磁通量子（single flux quantum，SFQ）电路，用于量子计算的超导量子比特等。它们的电路构成及示例，在《超导约瑟夫森结电路的构成》中进行了介绍。

约瑟夫森结电路的等效电路，由图1所示的6种基本元件构成。其中，约瑟夫森电流是超导电路特有的相位依赖（phase-dependent）元件，它的物理特性，要用相位-电流关系（phase current relation，PCR）描述。约瑟夫森结电路也相应是相位依赖的，其电路方程也需要引入“相位”作为变量。

图1. 约瑟夫森结电路的6种基本元件

（一）用“相位”变量描述的约瑟夫森结电路图模型

超导体中，载流子——库珀电子对（Cooper pair）的宏观波函数，在某一点的“相位”φ与该点“电势”v是一阶导数关系：v = –(dφ/dt)Φ₀/2π，其中Φ₀为磁通量子。

也就是说，“相位”φ 是“零阶”变量，“电势”v 是“一阶”变量。（注意一阶导数关系前还有个负号）

因此，只要使用零阶的“相位”变量，代换一阶的“电势”变量，对电路方程进行数学上的“降阶”处理，就能将常规电路分析所用的节点法和SPICE工具，“降阶”成适用于超导约瑟夫森结电路的分析方法和工具[1][2]。

具体做法就是：用节点相位定义节点电位；同时，用支路相差定义支路压差，将支路的VCR“降阶”成支路的相位-电流关系（phase current relation，PCR），如图2所示。

图2. 用“相位”作为变量描述的点-线图模型

根据支路的“压差-相差”一阶导数关系，可将约瑟夫森结电路6种基本元件的电流-电压特性，改写成PCR，如图3所示。

图3. 约瑟夫森结电路的6种基本元件及其PCR

        需要注意的是，节点处的波函数相位与该点电势的一阶导数关系前，是有一个“负号”的。但图2定义的节点电位-相位关系不带“负号”，主要是为了使“支路相位差”与“支路电压差”的计算保持一致，都符合支路的“关联方向”。所以，电路分析所用的节点相位实际上是该节点宏观波函数相位的负值（取负）。

（二）约瑟夫森结电路的节点相位方程

引入“节点相位”变量后，节点电压分析法“降阶”成了节点相位-分析法，如图4所示。其中，基于“节点电压”的KVL表达式，降阶成了基于“节点相位”的环路约束；该约束是磁通量子化定律（fluxoid quantization law，FQL）其中量子数为零的一个特例。

图4. “节点电压法”降阶为“节点相位法”

最终，所有由6种基本元件构成的约瑟夫森结电路，通过节点分析法，获得了通用的节点相位方程组。通过节点相位的数值求解，可以计算出每一个约瑟夫森结的电压、电流响应；根据约瑟夫森结的响应，可一步分析所在电路的工作机理。

（三）两个约瑟夫森结电路的分析示例

  一、dc-SQUID电路

一个dc-SQUID电路，以及用节点相位分析法计算得到的约瑟夫森结电压响应，如图5所示。其中，J₁和J₂ 是两个约瑟夫森结，其“×”形电路符号所代表的等效电路，见于《超导约瑟夫森结电路的构成》。

可以看到，当流经约瑟夫森结J₁的偏置电流，超过其临界电流I₀₁时，J₁两端将输出一个又一个的脉冲；脉冲的频率随着偏置电流I_b的增大而增大，同时受到外加磁通Φ_e的调制。

图 5. dc-SQUID及其约瑟夫森结响应

图6 用两只兔子“跑台阶”，来类比dc-SQUID中约瑟夫森结J₁和J₂的行为。其中，两只兔子在各自的台阶上，向上奔跑。所在台阶，每级间隔2π。兔子当前所处高度，对应于J₁ 正端的节点相位φ_{nd_1}和J₂ 正端的节点相位φ_{nd_2}；高度抬升速度,就是相应的节点电压。

因此，兔子在台阶上持续的“跳跃”，就是J₁和J₂节点上持续的电压脉冲；兔子在台阶上高度抬升的平均速度，就对应于节点的平均电压。

图 6. dc-SQUD中两个约瑟夫森结行为的类比

二、约瑟夫森传输线单元电路

一个约瑟夫森传输线（Josephson transmission line，JTL）单元，及其用节点相位分析法计算得到的约瑟夫森结相位电压响应波形，如图7所示。可以看到，所谓的JTL单元，就是两端分别加装了脉冲输入和输出的dc-SQUID。不同于磁传感用的dc-SQUID，JTL单元使用较小的偏置电流I_b，使得流经J₁和J₂的偏置电流小于临界电流。因此，

1）当没有脉冲输入时，J₁和J₂所在节点的相位保持不变，电压为零。

2）当有脉冲输入时，J₁将因支路电流超过临界电流，而出现2π的相位增量，对应产生一个面积约为1Φ₀的电压脉冲；该脉冲又触发J₂发生2π的相位跳变，并产生一个电压脉冲传输到下一级电路，形成了所谓的有源脉冲传输机制。

图 7. JTL单元及其约瑟夫森结的响应

图8 用两只兔子“爬台阶”，来类比JTL中约瑟夫森结J₁和J₂的行为。其中，两只兔子在各自的台阶（每级台阶高度2π）上，受激“跳跃”。即，受“一次激发”，上“一级台阶”，对应产生一个电压脉冲。

图 8. JTL单元中两个约瑟夫森结行为的类比

（四）约瑟夫森结“电压脉冲”的两个定律

一、约瑟夫森结电压脉冲的幅度定律

约瑟夫森结，在dc-SQUID中输出“连续脉冲”，在SFQ电路中输出“受触发的脉冲”。这些约瑟夫森结电压脉冲的幅度波形符合面积量子化定律：一个电压脉冲的幅度对时间的积分（也就是以幅度为纵轴、时间为横轴的脉冲波形的面积）约为1Φ₀。

SFQ电路，就是用约瑟夫森结的电压脉冲来定义数字逻辑的 [3]。一个脉冲对应1Φ₀的磁通变化，“SFQ——单磁通量子”因此得名。

二、约瑟夫森结电压脉冲的频率定律

约瑟夫森结电压脉冲的基波频率满足压控定律：约瑟夫森结电压脉冲的基波频率与脉冲电压的平均值成正比，其比例常数为 0.483GHz/μV。约瑟夫森结是一个压控振荡器（Voltage-controlled oscillator，VCO）。

在dc-SQUID两端测得的直流电压，正是两个约瑟夫森结的平均电压。因此，dc-SQUID 就是是一个压控振荡网络，其内部要激发一定频率的振荡，才能输出相应的直流电压 [4]。

（五）现有约瑟夫森结电路分析方法的问题

现有约瑟夫森结电路分析方法的主要操作就是：

1）用6种基本元件，构建约瑟夫森结电路的点-线图模型。

2）引入“相位”变量，将节点电压分析法“降阶”成节点相位分析法，获得约瑟夫森结电路通用的节点相位方程组。

对于典型约瑟夫森结电路——SQUID和SFQ，节点相位方程的数值解所能呈现的图像就是：约瑟夫森结激发的电压脉冲，此起彼伏；对应的节点相位，节节攀升。

然而，

1）约瑟夫森结电路的点-线图模型和节点相位数值解，并不能诠释约瑟夫森结电压脉冲幅度和频率定律背后的物理机理。点-线图描绘的是电荷的流通路径，其中，节点电位驱动支路元件、产生支路电流、实现电荷分配等的电路行为还是好理解的。但节点相位，不是电路的可观测信号，其对支路电流电压的作用机制，就很难有清晰的物理图像。

2）基于电压脉冲的SFQ逻辑，不能像CMOS逻辑那样，直接用高低电平判别。其逻辑比特的‘0’‘1’状态，要在时钟同步下，根据脉冲的“有”“无”来推断。节点电压脉冲，是节点相位变化产生的一个瞬变信号，稍纵即逝，其电压不能直接反映电路状态。基于脉冲的SFQ逻辑，只是根据脉冲代表的节点相位变化的事件，来推断电路的当前状态；就如同“盲人”，通过开关门的“声音”，推断是否有人进出。

也就是说，基于脉冲的SFQ逻辑，不知道，甚至也不关心逻辑比特的实体是什么。只是根据“听到的声音”——电压脉冲，推测“看不见的逻辑比特”发生了状态反转。

因此，现有约瑟夫森结电路的图模型及分析方法，还未很好地诠释SFQ电路的工作原理，以致于，基于电压脉冲的SFQ逻辑，还不能像CMOS逻辑那样易于理解和应用。

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电磁场通量分配模型（Electromagnetic-Flux-Distribution Model）[5]是一种以电荷和磁通为载流子，分析电路，特别是相位相关（phase-dependent）电路（如约瑟夫森结电路，相滑移结电路）的通用模型；其对应的 磁通流通图（Magnetic-Flux-Flow diagram，MFF diagram）[6][7]和电通流图（Electric-charge-flow diagram，ECF diagram）[8]是描绘电荷和磁通传输的新型交互式电路图，能帮助我们更直观地分析载流子的电磁场相互作用，加深对电路功能的理解。特别的，MFF图以磁通为载流子，直观地诠释了 具有宏观量子效应的超导约瑟夫森结电路 的工作原理。

[1]   S. Polonsky, P. Shevchenko, A. Kirichenko, D. Zinoviev, and A. Rylyakov, "PSCAN'96: new software for simulation and optimization of complex RSFQ circuits," IEEE Transactions on Appiled Superconductivity, vol. 7, no. 2, pp. 2685-2689, 1997.

[2]   L. Schindler and C. Fourie, "Application of Phase-Based Circuit Theory to RSFQ Logic Design," (in English), Ieee Transactions on Applied Superconductivity, vol. 32, no. 3, pp. 1-12, Apr 2022.

[3]   Likharev K K, Semenov V K. RSFQ logic/memory family: a new Josephson-junction technology for sub-terahertz-clock-frequency digital systems [J]. IEEE Transactions on Applied Superconductivity, 1991, 1(1): 3-28.

[4]   Y. L. Wang, "Frequency-phase-locking mechanism inside DC SQUIDs and the analytical expression of current-voltage characteristics," (in English), Physica C-Superconductivity and Its Applications, vol. 609, Jun 15 2023.

[5] Y. L. Wang, "An Electromagnetic-Flux-Distribution Model for Analyses of Superconducting Josephson Junction Circuits and Quantum Phase-Slip Junction Circuits," IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 32, no. 5, pp. 1-6, Aug 2022.

[6] Y. L. Wang, "Magnetic-Flux-Flow Diagrams for Design and Analysis of Josephson Junction Circuits,"  IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 33, no. 7, pp. 1-8, Oct 2023

[7] Y. L. Wang, "A general flux-Based Circuit Theory for Superconducting Josephson Junction Circuits," arXiv:2308.01693, pp. 1-35, 2023.https://doi.org/10.48550/arXiv. 2308.01693

[8] Y. L. Wang, " Electromagnetic-Field-Based Circuit Theory and Charge-Flux-Flow Diagrams," arXiv:2403.16025, pp. 1-40, 2024.https://doi.org/10.48550/arXiv.2403.16025