打结是线形物体中的一种常见现象，从宏观尺度的绳索到微观尺度的聚合物链。实验研究表明，DNA、蛋白质和其他分子中也存在打结现象。在许多情况下，打结的存在会对聚合物的流变性质产生重大影响，影响其结晶化、机械响应和生物功能。此外，打结还会影响小分子的化学性质，甚至对测序过程产生影响。

图1 扭结示意图，0,3,4,5, 代表了交叉点数目。

图2 负交叉及正交叉示意图。箭头代表链的方向。

图3 （a）左手三叶节， （b）右手三叶节，（c）带有三叶节的环形链的蒙特卡洛模拟结果；（d）c的简化图，显示交叉点的编号。

模拟研究通常通过计算亚历山大多项式来识别聚合物中的打结。因为相比于琼斯（Jones）多项式或HOMFLY多项式，其计算效率更高。但是鲜有文献详细描述亚历山大多项式的计算过程。本文中通过一个实例详细介绍了亚历山大多项式的计算过程，供读者参考。

        亚历山大多项式是高效的，但代价是无法直接区分结的手性。而结的手性在许多物理、化学和生物性质中扮演着重要角色。在这项工作中，我们发现了打结手性和亚历山大多项式之间的一种新关系。经过数学证明后，我们据此开发了一种新的算法，成功使得亚历山大多项式可以识别结的手性。该算法只是在原有的计算中添加了一步额外的交叉点上下交换操作，这一步操作仅会略微增加计算成本。

图4 交叉图中的切换操作示意图。顶部的原始交叉图来自图1中的三叶结。我们切换交叉图中每个交叉点的符号，然后计算新的结类型。黄色圆圈所示的切换操作是指将原始交叉图中的负交叉点（或正交叉点）切换为正交叉点（或负交叉点）。所有导致无结（变为圆环）的切换操作对应的都是负交叉点，这表明顶部图示的三叶结是左手性的。

        最后，我们通过聚合物打结的平均构象（管子模型）展示了该算法在物理研究中的重要影响。如果没有这个算法，我们将无法获得聚合物打结的管状结构。如图5（c2-c3）所示，由于构象集合中同时包含有左手性与右手性构象，平均后构象丢失了三维信息，构象变得相当扁平。通过对左手性（图5,d1），右手性构象（图5,e1）分类处理，我们得到了正确的三维构象。图5 (a) 蒙特卡罗模拟中的一条带有三叶结的环链聚合物的快照；(b) 扭结核心；(c1) 包括左手性和右手性的扭结核心的平均构象；(c2) 顶视图和(c3) 侧视图的平均扭结核心构象；(d1) 平均只包括左手性扭结核心的构象；(d2) 顶视图和(d3) 侧视图的平均结核心构象；(e1) 平均只包括右手性扭结核心的构象；(e2) 顶视图和(e3) 侧视图的平均结核心构象。

       该工作发表在Chinese Journal of Polymer Science上。本文由博士生邱其缘，朱永健，以及香港中文大学数学系吴忠涛教授及代亮教授合作完成，代亮教授为通信联系人。

原文信息：

Qiu, Q. Y.; Zhu, Y. J.; Wu, Z. T.; Dai, L.

Chinese J. Polym. Sci. 

DOI: 10.1007/s10118-024-3194-5