本科生科研指南（44）：量纲分析

张宇宁

华北电力大学（北京）

对于一些复杂的物理问题，同学们可以先用量纲分析对影响该现象物理本质的核心无量纲数进行推导，以方便后续进行更为细致的实验和理论研究。简而言之，量纲分析通过对物理过程中所涉及到的各个物理量的量纲进行分析，根据物理方程量纲一致性原理确定该物理过程所涉及的无量纲数，并进一步指导后续实验和深入研究。本期，笔者借助两个司空见惯的例子向同学们介绍一下量纲分析的物理本质。

首先，我们介绍一下量纲分析所依据的白金汉π定理。对于一个含有n个物理量的过程，当其含有m个基本量纲时，该定理显示该过程由n-m个无量纲数主导。例如，流体经过管道的过程中的压强降低的幅度与管道长度、管道内径、绝对粗糙度、平均流速、流体的密度和流体的动力粘度有关。那么该物理过程共有7个物理量，3个基本量纲（时间、长度、质量），因此，我们便可以得到4个无量纲数。如果我们前期的猜想是准确的，那么该物理过程便只与这4个无量纲数有关，而这4个无量纲数可以从上述7个物理量中适当地选取若干个物理量进行乘法和除法来表述。需要注意的是，该物理过程具体的表达式以及所涉及到的系数从上述定理中无从得知，我们需要进一步结合实验研究进行确定。

接下来，我们看一个小车在路面上行驶的例子。假设小车是匀速直线行驶，则小车在一定时间内所行驶的距离与时间、小车车速这两个参量有关。很多同学可能感觉这道题似乎较为简单，但实际上正是透过这样一个简单的例子我们方能深入的理解上述白金汉π定理的原理。那依据上述定理，该物理过程有3个物理量，2个基本量纲（时间、长度），因此可以得到1个无量纲数。大部分同学立刻都想到了可以用距离除以时间和车速作为无量纲参数。得到这个无量纲参数后，我们便开始寻找该物理过程的具体表达式。如果不进行量纲分析，假设每个参量要做10组实验方能确定其影响的话，那么2个物理量便是100组实验，工作量颇大。但经过量纲分析之后，我们现在只需要对1个物理量进行10组实验就可以了，一个下午便可以轻松完成了。经过多次实验之后，发现这个无量纲参数非常稳定地在1的附近波动，因此我们便得到了该物理过程的具体表达式。

现在，我们加大一点难度，开始考虑一个小球和细绳组成的单摆在小振幅下的振荡周期问题。我们猜想这个物理过程中所涉及的振荡周期可能和小球的质量、单摆的绳子长度和重力加速度等物理量有关。那么，一共有4个物理量，有3个基本量纲（时间、长度、质量），因此便可以得到1个无量纲数。最后，我们可以用单摆的周期与绳子长度除以重力加速度开二次根号的比值作为无量纲数。这时候，我们便可以开始实验工作了。部分同学可能受上一个实验的影响，感觉这次应该还是在1附近。实验结果出来了！令人惊讶的是，上述无量纲数在6.28附近波动。这是怎么回事？原来6.28正好等于2π。因此我们便得到了中学物理中所讲授的单摆振荡周期公式。这时，细心的同学可能发现，振荡周期跟我们起初设想的单摆质量这个参数并没有关系。事实证明，我们初期的猜想是错误的。但为什么我们却又得到了正确的结果呢？因为小球质量的引入在增加了一个变量的同时，也增加了一个基本量纲（质量），因此并没有改变无量纲数的个数，所以对结果没有影响。但如果我们将上述小球的质量替换为小球的半径，则无量纲数变为了2个。针对另一个与小球半径相关的无量纲数，我们费了很多力气做完实验后才发现与此现象无关，白费功夫。因此，在进行量纲分析之前，我们对物理过程所涉及到的变量要有清晰的认识，避免因疏漏导致错误的结果。

综上所述，量纲分析给本科生的科学研究提供了一个强大的理论工具，将其熟练地加以科学运用，很多复杂的科学问题便可迎刃而解。