本科生科研指南（43）：无量纲数构造方法

张宇宁

华北电力大学（北京）

针对一个具体的物理问题，本科生通过深入的分析获得掌控该现象的核心无量纲数是取得研究进展的关键。在科学研究的过程中，本科生可以尝试通过定义若干个必要的无量纲数，使得我们对于物理问题的认识和分析上升到一个新的层次。无量纲数的引入不但对于当前问题的分析和求解大有裨益，而且后续当本科生研究类似的问题时也会受益良多。本期，笔者重点谈一下本科生在科学研究过程中经常会用到的无量纲数的构造方法及其原理。

首先，本科生可以尝试将拟研究的物理量与特征物理量相联系。例如，在由弹簧和小铁块组成的简谐振荡系统中，同学们需要研究的物理量是铁块的瞬时位置。该参数是此现象的核心参数，其与铁块受到的弹簧弹性力及其引起的加速度之间存在着密切的联系。为了方便起见，我们这里先忽略摩擦力的影响。在初始时刻，我们把小铁块拉离位置一定距离后释放，小铁块便在上述释放的位置、平衡位置以及另一侧的对称位置间做往复的摆动。从无量纲的参数构造而言，首先我们可以将铁块的瞬时位置减去弹簧的平衡位置得到其振幅，然后再将此数除以铁块的最大振幅（也就是我们的铁块初始释放的位置），这样我们便得到了表征铁块瞬时运动位置的无量纲参数。与以前不同的是，对于任何一个类似的系统，无量纲位置参数等于零均是代表平衡位置，其等于1均是代表最大振幅。因此，通过定义无量纲位置参数，我们把需要用瞬时位置坐标、平衡位置坐标、最大振幅3个参数来描述的问题变成了用1个无量纲参数来描述，方程更为简单。与此同时，同学们对相关物理概念的理解以及所获得的解的通用性均会大大增强。由此可见，在科学研究的过程中，无量纲参数的合理构造是非常重要的。通过无量纲数的定义，我们完全可以将在弹簧和铁块中获得的研究成果应用到单摆、振荡电路等等领域，因为这些现象背后的基本方程是非常类似的。

类似的无量纲数构造方法在很多其他的科学研究工作中也是非常常见的。例如，在研究声场中气泡的振荡过程时，为了衡量小气泡周围的压力分布是否均匀，可以采用气泡的初始半径除以声波在液体中的波长定义无量纲参数。若此无量纲参数较小，则说明气泡周围的声场变化较小，可以将其近似看成是变化的均匀压力场。反之，若此无量纲参数较大，则说明气泡的周围声场变化较为剧烈，需要考虑其声场的非均匀效应。在研究空化对材料表面破坏的分析中，学者们通过引入汽泡中心到壁面的距离除以最大汽泡半径这一无量纲参数将典型的物理现象进行有效地划分，取得了很好的效果。由此可见，通过引入这些简单的无量纲参数便可以非常方便地、有针对性地开展研究。

其次，本科生可以尝试将不同机制进行比较获得无量纲参数。为了方便比较不同机制的贡献，可以尝试分析由其比值定义的无量纲数的大小，并依据此进行判断。对于传质的研究，上述过程通常采用舍伍德数进行，它表征了对流传质与扩散传质两种机制的比值，该无量纲数的命名主要是为了纪念化学工程家Thomas Kilgore Sherwood的贡献。

另外一个经常用到的类似的无量纲数是品质因子（Q factor）。在简谐振荡中，品质因子表征的是系统中的总能量与每个振荡周期中系统内的能量耗散之间的关系。通过定义这个无量纲数，同学们便可以较为清晰的理解该系统内的能量耗散情况以及其振荡曲线等等。

最后，本科生可以系统地学习一下某一个学科内的无量纲数构造体系。例如在流体力学的相关研究中，同学们需要重点关注运动与受力之间的关系。在对流体进行受力分析之后，我们便得到了各个力的矢量合成所形成的三角形，并最终确定了外力之和及其方向。根据牛顿第二定律，上述外力决定了流体的运动加速度等等。在流体的研究中，为了方便表述，一般将质量和加速度的乘积称为惯性力。那么，我们只需要将各种力的形成机制与惯性力之间做比值，便可以得到各种各样的无量纲数，诸如雷诺数、弗劳德数、欧拉数等等。这些无量纲数表征了在相关流动中，该力在流体的宏观运动中所起的作用大小。当然，我们也可以将上述无量纲数之间继续进行比值，从而得到新的具有重要物理意义的无量纲数。比如，将表征惯性力与表面张力比值的韦伯数与表征惯性力与粘性力比值的雷诺数之间再做比值，我们便得到了毛细数，它表征了粘性力与表面张力之间的比值。

综上所述，同学们需要在开展研究之前先系统地学习一下无量纲数的构造技巧及其物理含义，后续便可以有效地将复杂物理现象进行简化并深入分析。