本科生科研指南（37）：声速漫谈之声致振荡

张宇宁

华北电力大学（北京）

当声波在含有气泡的液体中进行传播之时，声波的波速会发生剧烈的变化。比如，声波在水中的传播速度是1480米每秒，但在气泡流中声波的速度会在部分情况下急剧地衰减到10-20米每秒左右。这其中的原因我们不妨用中学物理介绍过的简谐振动过程来进行解释。在本期博客中，笔者就围绕这个问题展示一下这两个现象之间的密切联系并基于此解释一下声波波速的变化规律。

首先，我们回顾一下中学物理中简谐振动的例子。具体而言，一个小铁块在弹簧的作用下在物体表面往复运动的例子就是一种典型的简谐振动。在初始情况下，当小铁块偏离弹簧的平衡位置之时，小铁块便会受到弹簧因为弹性形变而产生的作用力。比如，当小铁块初始压缩弹簧，则铁块会受到一个弹簧的驱动力，迫使其向平衡位置运动。当铁块到达平衡位置之时，弹簧的驱动力因为已无变形而为0。但在平衡位置时，铁块由于惯性会继续运动，从而逐渐拉伸弹簧。此时，弹簧因为拉伸，给铁块一个指向平衡位置的作用力。随后，铁块在弹簧的作用下逐渐减速，最终达到最大的偏离位置，铁块的速度也降低至0。此时，铁块已完成了半个周期的振荡。后续，铁块会沿着相同的路径返回到初始位置。在理想情况下，如果没有摩擦力的作用，铁块会这么一直振荡下去，而其振荡的固有频率等于弹簧的弹性系数除以铁块质量再开二次根号。上述弹簧的作用力又被称为恢复力，因为其方向永远倾向于将铁块拉回到其平衡位置。

类似地，当微弱声波在水中传播时，如果水中存在小气泡，气泡便会在声场的作用下发生类似的简谐振动，其机理与上述铁块-弹簧体系非常的类似。在气泡振荡的情形下，运动的实际上是气泡界面所推动的周围水体，尤其是气泡附近的水体。类似于上述弹簧产生的恢复力，气泡振荡的驱使作用力主要是气泡两侧的压力差，其特征也满足恢复力的定义。假设，初始条件下，气泡内部压力小于外界压力，气泡则逐步地被压缩。此时，随着气泡边界的逐步收缩，气泡的体积逐渐减小。根据理想气体状态方程，此时气泡内部的压力则逐渐增加，从而使得气泡内部的压力大于外部的压力。因而，气泡边界会逐渐减速至0，然后逐渐加速朝着平衡位置运动。当气泡到达平衡位置时，因为惯性继续膨胀，从而导致气泡内部的压力急剧减小，从而使得内外部的压差趋向于使气泡收缩并回到平衡位置。由此可见，气泡的运动可以有效地简化为简谐振动，从物理本质上与铁块-弹簧体系完全一致。

现在，我们进一步考虑声场的作用。声波相当于从外界为气泡振荡提供了一个正弦变化的驱动力，从而使气泡能够形成稳定的、频率为声场频率的振荡。现在，依据声场频率的不同，我们分三种情形讨论声波引起的气泡振荡（注一）。

第一种情形：声场频率远大于气泡振荡的固有频率。此时，气泡的振荡幅值非常之小，可以忽略。因此，气泡对声波的传播速度影响甚微，声波的传播速度等于其在水中的传播速度。

第二种情形：声场频率接近气泡振荡的固有频率。此时，气泡的振荡幅值非常之大，即产生共振。共振的危害实际上非常之显著，比如本系列博客第25期提到过的卡门涡街所引起的大桥坍塌以及火电厂冷却塔倒塌事故等等（注二）。此时，气泡振荡对声波的传播速度影响极大，声波速度在这个范围之内会急剧地变化。

第三种情形：声场频率远小于气泡振荡的固有频率。此时，气泡的振荡幅值主要受气泡振荡的固有频率影响，该数值主要取决于气泡的半径以及气泡在水中所占的体积百分比（又被称为体系率）等参数。因此，气泡对声波的传播速度有一定影响，但当气泡大小及分布等参数给定时，声速在该情形下是一个定值。当气泡较少之时，声波的传播速度接近水中的声速。

图一 笔者计算得到的波速随着声波频率和气泡体积百分比的变化曲线（注三）

最后，我们讨论一下真实的、带有能量耗散的情形。与上述理想体系不同的是，在真实的情况下，小铁块在运动过程中除了受到弹簧的作用力以外，还受到地面对弹簧的摩擦力，其方向与小铁块的运动方向相反。因此，在没有外界能量输入的情形下，小铁块的振荡幅值会逐渐减小直至静止在平衡位置。类似地，气泡在运动过程中也会受到流体因粘性而产生的作用力，并且该作用力也是与流体的运动方向相反，起到能量耗散的作用。由此可见，声波在含气泡流体的传播过程中，部分能量转变为了气泡的振荡以及由此带来的能量耗散，从而导致了声波能量的衰减。

从声波传播过程中物理机制的阐述及类比，本科生可以体会如何科学地开展知识的有效积累和使用。

1.        数理基础。数学和物理是从事很多领域研究工作的重要前提和基本功，本科生需要在大学学习过程中对此高度重视。比如，对于简谐振动以及相关更为复杂的振荡形式的分析过程中，一般会采用复变函数进行研究，并进一步依托复速度等概念进行求解。

2.   物理本质。对于重要的物理现象，本科生需要充分地理解其物理上的本质。比如，在此例中，通过分析我们发现气泡在声波作用下产生的振荡是导致声速变化和声波能量耗散的核心原因，从而可以加深对声速在含气泡流体中变化的认识。

3.   活用类比。很多知识间具有很强的相通性，本科生在学习过程中可以充分地对此加以利用。例如，在流体力学课程的学习中，复杂串并联管道的能量损失计算可以类比电路的串并联原理进行。在传热学的学习中，部分内容也通过类比电路原理提出了热阻等概念。

注释部分

注一： 笔者详细的推导过程详见以下论文。

Zhang, Y., Guo, Z. and Du, X., 2018. Wave propagation in liquids with oscillating vapor-gas bubbles. Applied Thermal Engineering, 133, pp.483-492.

注二：关于卡门涡街共振现象，参见笔者以下博文：

本科生科研指南（25）：卡门涡街

http://blog.sciencenet.cn/blog-352862-1211649.html

注三：此图引自笔者发表的如下论文中的图4。

Zhang, Y. and Du, X., 2015. Influences of non-uniform pressure field outside bubbles on the propagation of acoustic waves in dilute bubbly liquids. Ultrasonics sonochemistry, 26, pp.119-127.