宇宙有限，而数学无限

武汉理工大学：刘永红

宇宙  图片来源于互联网

当下，你认为宇宙是无限的，我很怀疑——你是不是活在当下；你还认为数学是有限的，我只能对你产生逆反心理。

我写这篇短文的落脚点是，数学无限之道。

19世纪80年代，康托尔（Cantor）集合论的产生标志着现代数学时期的开启。我们没有集合论的思想，是很难对现代数学有一个全面而深刻的理解的。

数学中，无穷集合实在太多了，当康托尔想到要划分时，研究了超穷数。康托尔于1883年发表《论线性集合》论文，他把实际无限当作确定的数学实体来考虑。正是这篇论文为这个新的数学领域奠定基础。

可是，康托尔公开挑战了高斯（Gauss）对于这个问题的思想（是当时普遍接受的），他的研究工作受到数学界不少的阻力，以至于他的著作未能及时出版。好在著名数学家希尔伯特（Hilbert）慧眼识珠，公开支持康托尔的工作，并肯定了选择公理，他与康托尔共同提出对角线方法，称为Cantor-Hilbert对角线方法，使之成为现代分析中一个有力的工具。

难道说“部分等于全体”。的确如此，这就是数学无限中所蕴含的不可思议。

能不能让我们多一点学术气氛？“部分具有全体之势”这句话来源于伽利略（Galilei）的悖论，可是，他说：“大于、等于、小于诸性质不能用于无限，而只能用于有限数量。”这便成为康托尔研究集合论的灵魂之火。

另一位著名数学家戴德金（Dedekind），他是高斯看中的数学天才人物，他一出手就不同凡响，他认为：“在他看来，一切无限集合的特征正在于其一部分可以与全体相匹配。”他与康托尔一样产生了数学无限的思想。因为，有限集合的唯一特性就是“部分绝不等于全体”。

更进一步，对序数性质和运算的研究是很重要的，如，把自然数推广的序数，就得到超穷归纳法。又如，良序的概念。实际上，序数是集合论的精髓。

在我国，需要解决难题的数学家，更需要理论数学家，就像康托尔和戴德金一样有数学思想，他们的理论产生了深远的影响，光彩夺目！

值得一提，当今数学研究更加抽象，尽管集合论的研究不热门了。但是，如果你不了解它，意味着你的数学基础不好，想数学创新，就是天方夜谭。