论点：归纳法不能容于数学

武汉理工大学：刘永红

在思维方法中，归纳法是最引人注目的方法之一。因为它从个性中寻共性，它通常被描述为由特殊到一般的方法。例如，牛顿运用归纳法提出并建立了万有引力定律。人们发现物理学的各种定律往往是用归纳法得到的，这种归纳过程是一切实验科学的基础。而这篇短文，我想说这样的论点：归纳法绝对不容于数学。但这似乎产生了一种可能性：比方说，系统试验是完全归纳法的，确切地说，是递归推理的。

实际上，数学家对特殊形状的素数有浓厚的兴趣，最好的例子是Fermat数(Fermat number)F_n = ₂2ⁿ  _+ 1，Fermat断言：不论n是何数，F_n都表示素数。Fermat用试验的方法得到n = 0, 1, 2, 3和4都是对的，即F₀ = 3，F₁ = 5，F₂ = 17，F₃ = 257，F₄ = 65537。可是Euler计算出，当n = 5时，它不成立！即F₅ = 641 • 6700417，从而否定了这个命题。在数学上，要断言从经验归纳方法得到的“一般”规律是正确的，就必须经过严格证明。

数学家之所以对Fermat数特别感兴趣，其原因是，人们猜测它是无平方因子数，且绝大多数不重复，而且可以发现它的一些新因子。例如，形如k • 2ⁿ + 1的数是Fermat数的潜在因子，并且它们的素性判别较为容易。然而，还有一个重要原因：它是数论中一个不可多得的命题，因此它有被利用的价值。举例如下：

证明任意两个Fermat数互素；从而必有无穷多个素数。为此，只需验证递推关系，即

让m是F_k和F_n（k＜n）的公因子，则m整除2，于是m = 1或者2。然而Fermat数都是奇数，故m = 2是不可能的。

现在我们证明递推关系（1）式：

当n = 1时，我们有F₀ = 3，F₁−2 = 3。由归纳假设得到

证毕。

这里所用的推论方法是递归推理的一个例子，证明中的两步，第一步归纳，第二步遗传性。如果只做第一步是不充分的，因此，这二步都不可少。实际上，很多数学难题，难就难在，在n 时，对遗传性无从下手，证明超出我们的能力。例如，Mersenne 素数 2^p-1的个数是无限的。

事实上，这种数学归纳推理方法是演绎法的一种变形，它是一种严格的证明方法。我们就此澄清数学归纳法，因为这个名称会引起误解，应称之为递归推理方法。

从某种意义上来说，物理学是实验科学，数学是演绎科学。