大数 —— 一座大山，最高！最险！最美！

武汉理工大学：刘永红

大数真是一座最高的、最险的、最美的大山哦！人，天生对大数有畏惧的心理，但人类的生存与发展又离不开大数，而且想尽一切办法发现它，享用它。在科学研究中，大数还是一个永恒的课题。

大数，仿佛悬崖边绽放的花朵，很迷人，使人不能自拔，直到你头昏眼花。从古至今，人们对各式各样的大数的探究从未停止过，吸引了无数数学家前来打卡。

我国古代北周，甄鸾注《数术记遗》一书中对大数进行了分类，即上等数，中等数和下等数等三大类，称之为“三等数”。具体来说，下等数“十十变之”，如十万为亿，十亿为兆，十兆为京；中等数“万万变之”，如万万为亿，万万亿为兆，万万兆为京；上等数“数穷则变”，如万万为亿，亿亿为兆，兆兆为京。我们今天用的十进制就来自于“十十变之”。我国古代不仅发明了大数一套记法，而且还发明了算盘（abacus）和珠算算法，使计算又准又快，极大地推动了我国古代应用科学的发展。

人们知道沙的颗粒数目是“不计其数”的。但，阿基米德（Archimedes）脑洞大开，要探讨这个大数的问题，在他的《沙粒计算便览》（The Sand-Reckoner）中发明了一套大数记号（但不是我们今天的记号a^b ，这个很方便，还可推广到 ），当时他用类似于10ⁿ记号表示，填满一个伸展到太阳的大球体，其沙粒数目不会多于“1000个单位的第7阶数”，也就是10⁵¹，这就是他认为的“宇宙”。他还算出大球体的直径不大于10¹⁰stadia(是古希腊的赛跑场的一圈长度，作为长度单位)。事实证明，他把沙粒与大数联系起来，意味着他迈出想象的巨大的一步。

尽管有“指数”(index)的记号以及“阶”（order）的概念来表达还有美中不足之处，需要进一步转换，变成更简洁的数学形式，引入新的概念“类型”（type）,记号：N₁ = 10¹⁰， ，…

我们的最终目的是削平指数，因此运用“对数”（logarithm）处理。例如，宇宙的基本粒子数目，用这个简洁记号表示，即N_1•19。这个转换过程：令，我们有10^x= 79，于是得到x = log79 = 1.9。它的原始表达是，说成是1.19type的数，写成N_1•19。

现在我们来看计算机还没发明时，已知的最大素数：

p = 170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727.

有趣的是，绝对没人敢尝试计算(p－2)! 但，这个大数必定是有的。往往数论研究就是这样，他不太关心应用。例如，一千亿亿亿之内的素数有多少？如果不能精确地算出这个数，也行，你是否至少能逼近它？数学家的回答是肯定的，可运用“筛法”研究这个问题。有一个大数,它是素数或是合数呢？涉及令人头疼的“因式分解”（factorization）这个最古老的问题，计算机在这种大数面前也“无能为力”。但人们想到了利用计算机网络，因为它们遍及全世界，只占用空余时间来完成运算。你自然想到这种大数可应用在数据加密中，没错！为了跟上因式分解研究的步伐，RSA数据安全公司在1991年3月设立了RSA因式分解难题：每个数均为尺寸大致相等的两个素数之积，每个被挑选的素数都是2模3的同余。该难题有42个数，数据位数从100到500。人们找到了几种算法，例如，“二次筛选法”（quadratic sieve，QS），它的分解速度是比较快的。关于这个问题人们还在广泛深入研究。

从某种意义上说，大数和国家的繁荣昌盛密切相关，因为大数具有优越性，独特性和保密性等特点，可造福于人类。因此，大数在人类文明的升级中扮演着重要的角色。