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求解一类Sylvester型四元数矩阵方程组 | MDPI Symmetry

已有 480 次阅读 2024-5-15 17:25 |个人分类:学术软文|系统分类:论文交流

自1843年英国数学家哈密尔顿发现四元数以来,四元数及四元数矩阵一直受到广泛关注。20世纪70年代以来,四元数和四元数矩阵得到了更广泛的研究,相关理论广泛应用于理论力学、光学、计算机图形学、飞行力学与航空航天技术、量子物理、信号处理等领域。来自上海大学理学院的王卿文老师团队在 Symmetry 期刊发表了文章,介绍了一类Sylvester型四元数矩阵方程组可解的充分必要条件,并给出方程组可解时的通解表达式。

    

研究过程及结果

文章首先介绍了四元数的基本知识,强调了四元数代数是实数域上的非交换除环。研究者们对四元数和四元数矩阵在很多领域进行了深入研究,这些研究不仅扩展了数学理论,也发现了四元数和四元数矩阵在多个领域的应用。接着,文章引入了Moore–Penrose逆的概念,解释了它在矩阵理论中的重要性,特别是在处理奇异矩阵和最小二乘问题时的作用。此外,作者还回顾了一系列与矩阵方程相关的基本概念和引理,为后续建立可解性条件奠定了理论基础。

作者在文中利用所涉及四元数矩阵的秩和Moore-Penrose逆,建立了Sylvester型四元数矩阵方程组:

image (2).png

(1)

可解的充分性和必要性条件。随后,作者说明当满足可解的条件时,方程组的一般解可以用一种简洁的方式表示出来。此外,通过一个数值示例,作者对这些主要结果进行了验证,以验证结果的准确性。

作为该方程组 (1) 的应用,作者在四元数矩阵方程组:

image (3).png

(2)

中考虑了一种特殊的对称解,即η-Hermitian解,并给出了方程组 (2) 具有η-Hermitian解的充分和必要条件,并在四元数方程组有η-Hermitian解时给出了一般解的具体表达式。

    

研究总结

作者通过使用Moore-Penrose逆和方程组 (1) 中系数四元数矩阵的秩,建立了方程组 (1) 的可解性条件,并在其可解时导出了其一般解的公式。并作为应用,导出了方程组 (2) 具有η-Hermitian解的必要和充分条件,以及一般解的表达式。作者还使用算法和数值算例验证了本文主要结果。本文对方程组 (1) 的研究结果不仅适用于实数和复数域,还适用于任何除环。此外,本文的主要结果也可推广到四元数代数系统上的张量方程。文章的整个研究过程凝练而深刻,对四元数矩阵方程组理论的推动和应用都具有积极的推动作用。

     

原文出自 Symmetry 期刊

Wang, R.-N.; Wang, Q.-W.; Liu, L.-S. Solving a System of Sylvester-like Quaternion Matrix Equations. Symmetry 2022, 14, 1056. https://www.mdpi.com/1641182

Symmetry 期刊介绍

主编:Sergei D. Odintsov, Institute of Space Sciences (IEEC-CSIC), Spain

期刊主题涵盖了所有科学研究中有关对称/非对称现象的理论和应用研究,主要包括数学、计算机、工程与材料、物理学、生命科学、化学等领域的最新进展。期刊已被 Scopus、SCIE (Web of Science)、CAPlus/SciFinder 等多家知名数据库收录。

2022 Impact Factor:2.7 

2022 CiteScore:4.9

Time to First Decision:16.2 Days

Acceptance to Publication:3.5 Days

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