细节，很多时候是掌握事物本质的有效途径。

严谨的理论物理学家对事物细节的阐述有时是用微分方程来刻画的，对于深刻理解微分概念的人来说，他们总是能够把微分方程视作物体行为的记录仪，从而抓住物体发展的数学本质。Legendre（勒让德）变换就是从变换前后的事物细节等同这个思想诞生的，即变换不能更改事物发展的细节。

现在展现一个全微分：

式中自变量为xi，导函数值记为yi。这两个数值是瞬时数值，记录了事物发展曲线的每一个细节，于是便精确刻画了它在一定时空区间内的运动（或说发展）状态，此时称f是在xi（i=1、2、3、4，…）表像下的f。在各类工程实践中，有时去测量自变量xi不太容易，因此科学家们就想，能不能换个容易测量的自变量和新函数去表达f？就是说，能否找一个新函数曲线g，使得该曲线所包含的信息等同于f曲线，所述信息无非就是自变量值、导函数值这两个关键参数。答案是可以找到，如何找？微分方程的拼凑，内容上是简单的：

新函数找到了：，

因为（1）式表明函数g的自变量y_i充当了函数f的导函数值，而g的导函数值x_i充当了函数f的自变量值。如上所述，自变量和导数值这两个可以记录事物发展曲线的每一个变化细节，可以精确刻画事物在一定时空区间内的运动（或说发展）状态，所以新函数g包含了函数f曲线的每一个细节，它同样可以准确描述同一事物的发展过程。此时，我们称函数g是函数f的Legendre（勒让德）变换。

画图直观看一下，为好理解，用单变量函数说明。

左图中，f曲线上任意A点的信息（xA、yA）通过勒让德变换投射到右图中正对应的正是g曲线B点的信息，且唯一。反过来依然成立。这样，g曲线（f曲线）就不多不少地刻画了f曲线（g曲线）上的各个点的信息，最后根据实际情况的边界条件确定曲线的截距即可。以上需注意的是，参与变换的两个函数必须是凸函数，否则保证不了在f曲线上一个自变量对应唯一的导函数值。

至此，勒让德变换要义大致说完。