w一致的故事和符号世界的对应——哥德尔读后之24

听到来自脸书改名元宇宙的消息之后，又从一份外刊中得知，这元宇宙的概念其实由来已久。最早可以追溯到柏拉图的洞穴假说，最晚也要追溯到美国上世纪90年代的一本科幻小说《雪崩》snow crash，一本厚厚的长篇科幻小说。还没有时间来看这部几十年前的科幻长篇，但据说这个作者史蒂芬森很是了得。它的雪崩长篇，正是今日“超元城市”，即所谓虚拟实景技术的原创性构想所在。以致今天的虚拟世界，让人生有了远不同于实在世界的另一类空间。在这个空间里也有了公民，有了大使馆，有了很多超越尘俗的神奇梦想（参见史蒂芬森《雪崩》导读）。

柏拉图洞穴 

雪崩超元城

元宇宙想象

不过，我听到这元宇宙概念时，首先想到的倒不是虚拟世界，因为这个“元”字，我首先想到的是，由希尔伯特和哥德尔等数学家逻辑学家开创的元数学、元语言或者元逻辑观念。也许，这个语言中的“元”，其实不是科幻小说家的原创，而是哲学家、数学家和逻辑学家的原创。例如柏拉图，就是一个推崇数学的哲学家，而哥德尔则因为他的两条定理，影响到元数学的整个规划与哲学。所以，现在为人所知的元宇宙的“元”，雪崩设想的所谓超元城市中的那个‘’元‘’，数学家和逻辑学家早就从数学和逻辑的角度予以了探究。并且，这个探究产生了数学和逻辑学的巨大变革，如同雪崩影响到计算机的虚拟技术一样。

哥德尔的原著实在难读，但人智对于元的探求似乎总是一个动力在推你前行。从内蒙返回广州，漫看闲书，又回到原先的原著解读了，

博文880的读后之20，解读到标号（8），感觉得关注一些背景性的东西，于是停下来去理解基本观念。这一停，从880穿越到893了。自媒体的文字表述让你随心所欲，这感觉很好。你可以紧跟着原著文本，用文字来表述对于文本的理解。你也可以随时离开原著文本，用另外的阅读来强化对于原著文本的理解。文武之道，一张一弛。文字之道，似乎也有个类似的一离一即。离开原著文本一段时间，现在重回原著了，自然先要重温原著标号（8）之前的几个标号。

一、标号（5），（6）和（6.1）的回顾

先看定义（8.1），

Q(x,y)≡Ø(proofFormula_c(x,subst(y,19,number(y)))

直观上，Q(x,y)它的寓意是，x对y(y) 在w一致c下不可证。那么，它为什么不是可证公式呢？我们先回到哥德尔不完全性定理证明的起点，标号（5）的定义上来。

标号（5）告诉我们，x序列在w一致c下可证的定义。那就是，一个公式x在w一致c下可证，其进行证明的符号串，必须是某个长度为n的公式序列，该序列满足以下条件：

1）它的构成项是有限的，长度为length(x)；

2）构成项是在w一致c公式类下的公式；

3）构成项或者是公理，或者是依据公理和规则从在前公式导出的直接后承；

4）该序列长度n>0。

这个标号（5），是证明哥德尔第一不完全性定理的第一个标号。它所定义的‘’是一个证明序列‘，表达的是一个原始递归谓词。该谓词和标号（5）右式的符号串等价。而这个符号串，实际上是一串数字。’所以，我们对于哥德尔第一不完全性定理的证明，是从算术角度或者说数论角度来着手的。这个证明的过程看起来是公式或者公式序列，但这些公式和公式序列都被配以哥德尔数。那就是说，由逻辑符号联结的这些客体，都是一个一个的数字，而且是原始递归的。

例如：

谓词is axiom(term(n,x))表示，序列中第n个x是公理，这里的x就是处于序列第n个位置上的数字。

谓词immediConseq(term(n,x),term(p,x),term(q,x))表示，序列中的x处于序列中的第n个位置，它是在前的p和q的直接后承。所以，也可以说，x是其数字为p和q直接后承的一个数。

谓词length(x)，那就更明显，表示序列x的长度，如果length(x)>0，则表示x的长度数字大于0，自然这个谓词就是一个数字。

接之标号（6）又更具体地说明，一个w一致c公式类下的可证公式，就是证明序列中的最后一个公式，这类似于定义45。这个标号中的符号串，依然也是用数字来说明。

该标号可以解读为，数字为x的公式序列是数字为y的公式的一个证明。解读得更为详细一点则是，x作为一个符号序列，它等价于一个合取式。这个合取式有两个合取支，一个是，x是一个在w一致c公式类下的证明序列；另一个是，x序列长度中的最末一项为y，y正好是序列x所要证明的公式。这个标号（6），恰好就是哥德尔定义45的一个特例，差别仅在于具有w一致c公式类条件。

现在轮到相关于哥德尔46个定义中的最后一个定义46了，这个相关于哥德尔定义46的新定义，在哥德尔第一不完全性定理证明序列中，标号为（6.1）。

标号（6.1），几乎完全等同于哥德尔定义46。它表达：x可证。也就是，x是一个可证公式的数，等价于存在一个数y，y是x的一个证明序列。在整个哥德尔46个定义中，前面45个定义的客体，都是原始递归的，唯有这最后一个定义46，不是原始递归的或者说是可判定的。

把这个标号（6.1）给出的可证定义，和在前46个定义中的定义46相比较，哥德尔认为标号（7）和标号（8）是显然成立的。但你似乎对哥德尔的这个‘’显然‘’，会有一点茫然的感觉。行家一看可能就是显然，但对于哥德尔的那些稀奇古怪符号仅略知一二的读者来说，想要获得显然的感觉，体验点显然的味道，可并不是一件容易事。至少，你要悟出些符号的门道，才有可能品尝出所谓‘’显然‘’的味道。

二、哥德尔原著英译本标号（7）和（8）显然成立么？

（一）标号（7）可以说是显然的

先看标号（7），它显然成立么？我们来解读这个标号（7）。

标号（7）

"x（provable_c(x)≡x∈consequence(c)）       (7)

这个公式标号为（7）

继续按照常规出牌，撇开量词，把定义拆分成左式和右式。

左式：provable_c(x)

公式x可证。

说一个具有递归和w一致性的公式类c中的公式可证，需满足右式所描述的条件。

右式：x∈consequence(c)

只要x属于w一致c中的直接后承即可，这明显先根据标号（5）的证明序列定义。一个客体可证，首先得有一个证明序列。而要有一个成立的证明序列，至少得满足其析取中某一个选言支，而属于某个直接后承正好是其中一个要求。直接后承又是由在前两个公式，根据公理和推理规则推导而来，于是直接后承中的每一个公式，依据标号（6），就都是证明公式，这又用到标号（6）。再根据（6.1），x存在着证明公式y，就表明x可证。

这是依据在前标号定义的推演，如果再往前看原著文本，在哥德尔不完全性定理给出之前，哥德尔在文本中已经预设了c是任意公式类，并且用consequence_c来表示公式的最小集合，该集合包括c的所有公式和所有公理，并在“直接后承”关系下封闭。依据这个在前的预设，标号（7）的表达式显然成立，就是好理解的了。不过标号（7）前置全称量词约束变元x，为什么要加上全称量词？大概是x中的所有变元吧？姑且存疑。

那么，标号（8）呢？标号（8）的显然性还真不那么显然，似乎要多花费点文字。标号（8）是个蕴涵式，蕴涵式前件的可证无下标，后件则带有下标w一致c。

我们来看标号（8）：

"x（provable(x)→provable_c(x)）       (8)

这个公式标号为（8）。

这个标号（8），左式可证不带下标，右式可证带下标w一致c。这表明，前件的可证，是条件更为宽泛的可证，后件的可证则是带有特殊条件，即w一致条件的可证。这样，不带w一致条件的可证和带有w一致条件的可证，就得来点比较和分析。至少，你得对w一致有点感觉才行。好在哥德尔的思路明晰，他在给出哥德尔定理和证明之前，已经陈述了为这个定理给定的前提假定，那就是w一致，一个否定性的存在假设。

公式类c称作w一致，如果不存在类符号a使得

"(n)(subst(a,v,number(n)∈conseq(c)∧not(forall(v,a))∈conseq(c)

这段符号串先做一个简单说明：

1）a是类符号，所谓类符号，即是一元关系符号，仅有一个自由变元的公式；一般称之为描述性质的语句中的谓词。

2）v是公式a中的自由变元

3）number(n)，根据哥德尔定义17，这是对于数字n的数字符号number-sign

4）conseq(c)，这是哥德尔已经预设的公式类，直接后承集合或者可证公式集合；

在前已有多篇理解哥德尔文本的博文，对w一致已有一些讨论，行文至此，又要涉及到w一致了。再增加一点相关理解似有必要，于是有了以下几段有关w一致的新增文字。

理解w一致，常常是从w不一致开始。哥德尔研究高手斯穆里安，在解释这个w不一致观念的时候，先讲了三个故事。其中第二个故事更简单更有趣，我在这里来做一个辗转引用。斯穆里安也喜欢引用，他的第三个故事就引用了另一位数学家哈尔莫斯为w不一致构思出来的妙趣文字。很传神，却抽象了一点，还是用第二个故事为好。

设想我们都是永恒不朽的生命，但也是要体验凡尘生活的仙人，我们居住和徜徉在宇宙空间之中。这个空间，有无限多个为我们服务的银行，银行的数目似乎和我们生命的永恒一样无穷无尽。把这些银行做成一个列表，可以用自然数下标永无止境地排下去，从银行1，银行2，…银行n……，一直排到宇宙的无穷深处，没有尽头。

我们再设想，其中的某个银行i给你一张大额支票，支票上注明“在某个银行可以支取”。拿着这个大额支票，你去银行1，支取不了。银行2，还是支取不了。你一个接一个地到不同银行支取，都不能兑现。甚至你已经尝试过成万上亿个银行，都不能兑现。但你是永恒的，银行是无止境的，你可以伴随着时光，不断地寻求支票的兑现。所以，我们似乎也不能证明这张支票是无效的。因为你的永恒和银行的无限，使得你有永远也走不完的银行。也许，总有无限之中的下一个银行，可以在你生命的下一个时刻将这个支票兑现（参见斯穆里安《数理逻辑入门》第219页）。

这个故事似乎告诉我们，所谓w不一致，就如同这个故事中的支票一样，它写有“可兑现”的文字，但你却在银行里怎么也兑现不了，支票上的可兑现文字和使用支票的效果是不一致的。不过，那个银行数目的无限性假定，还有那个赋予你的生命永恒假定，似乎总在给你留存一点也许可以兑现的期待。

这个故事告诉我们，也许，正是因为这个无限和永恒，造就了某种不一致（参见斯穆里安《数理逻辑入门》第218页）

但逻辑并不等同于故事，我们还是得给w不一致一个精确的定义。

（二）w不一致和w一致

斯穆里安是这样定义w不一致的。

假设S是其所有公式都属于皮亚诺算术的系统，S中有公式F(w)，w是以自然数为变域的自由变元。再假设带有上横线的数字符号，,……是指称自然数0，1，2，…n…的数字，由这些上横线的符号构成公式F(，,……。

由此我们可以定义w不一致如下：

称系统S是w不一致的，如果公式F(w)使得，公式$wF(w)可证，但所有另一类的公式F(，,……皆是可驳斥。

有了这个w不一致，我们可以简单地说，如果系统S不是w不一致，那么它就是w一致。这也可以用斯穆里安的换句话说来表示：

换句话说，如果公式$wF(w)在S中可证，那么就至少存在一个数字n使得公式在S中不可驳。这时候，我们就可以称S是w一致。

斯穆里安的这个换句话说，其实等价于哥德尔在其原著英译本中所表达的东西：

公式类c称作w一致，如果不存在类符号a使得

"(n)(subst(a,v,number(n)∈conseq(c)∧not(forall(v,a))∈conseq(c)

黑体字中那长长一串中英字母符号，也可以翻译为斯穆里安的‘’换句话说‘’。我们先解读这个符号串，然后来推测它们的等价。

在w一致的系统中，不存在一元关系公式a，即所谓表达性质的公式a有以下两个合取支所描述的结论。

合取支1）a中的自由变元v代入全部变域所获得的公式a=F(v)，属于可证公式类。其中的number(n)，是对于数n的数字表示，这个符号表示与斯穆里安用上横线表示相应数n的表示法是一样的。

合取支2）则是说，一个否定的公式表达式not(forall(v,a))，它其实就是对于a的一个全称否定公式Ø"vF(v)，它不属于可证公式类，也就是，它是斯穆里安定义中的可驳公式。

把这两个合取支解读得更直白一点，哥德尔定义中的这个类符号a，既可以指包含变元v的一元公式a=F(v)，也可以单就变元v而言。把哥德尔的那个有点陌生的属于符号，换成更直白的可证符号├，用大写的谓词符号A替代小写的a，则有合取支1）的转换式：

"(n)(subst(a,v,number(n)∈conseq(c) = ├A(0),├A(1),├A(2), ├….

合取支2）则可以转换表示为：

not(forall(v,a))∈conseq(c) = ├Ø"vA(v)

不存在一个公式a使得上述两种情形全都可证，这被哥德尔和《元数学导论》的作者克林称作w一致（参见《元数学导论》第227页）。

再来看康先生对w一致的定义：（参见《可能世界的逻辑》第10页）

系统T是w一致的，当且仅当，如果T├Φ(，├，├，…则T$xØΦ(x)。

康先生的这个定义类似于哥德尔和克林的方式，又好像和斯穆里安的定义挂了钩，因为他也使用了上横线的数指称方式，用形式替身来表示数n。他的定义方式和斯穆里安的方式更为接近一些，那个不可证的公式T$xØΦ(x)，其实就是斯穆里安定义w一致的后件所呈现的公式。我们继续把以上有关w一致的定义和斯穆里安定义再做点比较，以强化我们对w一致观念的理解。而且，从进一步的比较中可以感觉到，上述几种定义方式，其实和哥德尔的原创定义几乎全都一脉相承。

斯式定义，预先给定了数字对变元的代入，对任意自然数n，他用这样的上横线方式来指称n的数字，在一元公式的情形下，公式F(w)中的自由变元仅仅w。这就可以用F()来表示，那些用代入w每一处自由出现所得到的公式，如上所示的A(0)，A(1)，A(2)…等等，都可以用这个方式简化表述，康先生直接采用了这样的标记模式。这样的表达也就被看作是普通算术命题的形式替身。由此就有了斯穆里安w一致的定义：

若S中有一个可证公式$wF(w)，则至少会有一个数n使得公式在S中不是可驳。这时候的S，就是w一致。

也就是说，我们在S中有可证公式├$wF(w)，这个公式的自由变元w中至少有一个变元使得这个公式可证。如果这个条件满足的话，这就表明，在w作为自由变元的变域中，一定至少有一个数n保证公式$wF(w)可证，而给n配置的数名是，由这个数名在S中构成的公式不是可驳，这就保证了S的w一致。

由此可知，w一致性就是说，在一个算术系统中有一个表达性质的公式，这个公式的性质对于一个特定的数是可证的，但对于每一个特定的数，则并非是可驳的，也就是不是不可证的。斯穆里安编造了一个w不一致的银行支票故事，这个故事设想了无限的银行，因为无限，我们不可证支票无法兑现，但我们又认定，所有的银行中总有一个银行可兑现是可证的。把这个故事稍加改变，大概就可以是一个w一致的故事。

其实只是一个轻微的改变，设想有那么一个银行B_n，它可以兑现支票，我们把它对应数名和可兑现性质构成公式，它也有性质“可兑现”。但这个一元公式可证么？我们似乎不知道。我们顶多能够知道的，这个公式似乎既不能可证，也不是可驳。

这个解读好像还有点玄，此处再用克林关于w一致所做的一段评论，继续来理解一下它的寓意。克林在《元数学导论》中比较了两种一致，一个是简单一致，另一个就是w一致。

他说：

在上述权宜性论证中所做的假设，即如果A或者ØA假，它便不能在系统内证明，在现在的元数学论证中便应换以一个元数学的等价假说，就如果A假则A不能证而言，这个等价物就是系统的简单无矛盾性或者简单一致性。就如果ØA假则ØA不能证而言，我们需要一个更强的条件，叫做w一致性，它可定义如下：

一个形式系统称作w一致，如果没有变元x及公式A(x)使得下列各命题为真：

├A(0),├A(1),├A(2),….├Ø"xA(x)

(换句话说，如果不是既├Ø"xA(x)，又对每个自然数n都有├A(n))，反之，如果对某个x及A(x)使得所有A(0),A(1),A(2),…以及Ø"xA(x)全是可证，则该系统称作w不一致（克林《元数学导论》第227页）。

所以，w一致是从否定角度，来思考系统中的公式客体和公式中的变元。它的一致性似乎是体现在：你不能在断定一个一个特定数字具有某个性质可证的同时，又断定所有个体数字不具有某个性质的可证。一个具有w一致的系统，没有这样的公式，也没有这样的变元，能够接受这种不一致的可证断定。这种否定式断定，颇类似同时否定了一个特称命题和全称命题的合取，自然就是w一致。

如果能够编一个通俗的故事，如同斯穆里安说明w不一致那样的银行故事，来说明w一致，那就有点意思了。我还是尝试把那个数学家哈尔莫斯编的小故事翻转过来，他编的依然是w不一致，我不揣鄙陋，想将它改为w一致的故事。但很遗憾，这个w一致的故事难编。那就依然用哈尔莫斯的w不一致的小故事，来暂停w一致的讨论吧。

Jane是一个具有w不一致的母亲，她几乎不允许她的孩子做任何事情。这些事情可以列成一个长长的没有尽头的清单，从编号1直到无穷。她对孩子说：你不可以做1，不可以做2，不可以做……这列表上无穷多事情。孩子看到这么多不可做的事情，就问母亲：难道就没有允许我做的事情么？母亲回答：有啊！有允许你做的事情啊。但不是这，也不是那，也不是……。

这还是w不一致的故事，能够有一个通俗说明w一致的故事么？我费神想了想，还是拿不出像样的文字，期待有高手把这样的故事编出来。

（三）标号（8）和（8.1）解读

有了以上w一致的讨论，我们来看标号（8）是否如同哥德尔所说，是显然成立的。

标号（8）：

"x（provable(x)→provable_c(x)）       (8)

这个公式标号为（8）。

这个标号（8），左式可证不带下标，这就是上文提及到的，右式可证带下标w一致c。这表明，前件的可证，是另一个条件下的可证，后件的可证则是带有w一致条件的可证。这样，不带w一致条件的可证和带有w一致条件的可证之间，有一个前者导出后者的蕴涵关系。

而这个标号（8）的前件provable(x)，不正好就是哥德尔定义46么？它等价于存在一个公式序列y，y是x的一个证明。而这个定义恰好就是在哥德尔的系统P中，序列y也好，可证公式x也好，都处在哥德尔的P系统中。那么，在P系统条件下的x可证，能够蕴涵在w一致条件下的可证么？这需要设想一下一个语言的两个集合，可证公式的集合和可驳公式的集合，在这两个集合的前提之下，斯穆里安鼓捣出一个正确性观念。那就是，如果一个系统中，可证公式的集合皆为真，可驳公式集合皆为假，这个系统可称之为“正确的”。这个正确性大致类似于一个系统的可靠性，而这个正确或者可靠，正是哥德尔系统P具有的元数学性质。在P的正确性性质下，再给P一个w一致，那就是在收紧系统中公式为真或者为假的范围。

由此而可以表明，正确性之下的系统P，比w一致更强。于是，我们在标号（8）中的蕴涵式，就是具有正确性的P蕴涵着增加w一致的系统P，这个标号（8），由此而就有了显然性。

有了在前的定义和标号（7）（8），现在开始定义一个二元关系了，这就是标号（8.1）。

Q(x,y)≡ØproofFormula_c(x,subst(y,19,number(y)))         (8.1)

这个二元关系被定义为对证明序列x的一个否定，定义右式的变元x是一个公式序列，但这个公式序列x却并不是那个变元y借助代入而形成公式的一个证明，一个在w一致条件下的证明。变元y为什么不是变元x的证明序列呢？这需要依据哥德尔定义17和定义31来说明，先来解读由subst紧随的，公式序列x之后的符号串subst(y,19,number(y))。

哥德尔定义17在解读w一致时，已经多次提及过，这里再一次用到这个定义17。这个符号串number(n)，就是表达数字n的数字符号number-sign，可以用上横线的符号表达。用到y上，则这个变元y的数字符号就是。

哥德尔定义31则是对于sbust的定义，该定义可以用来解释公式subst(y,19,number(y))。它是这样一个公式，把公式变元y作为自由变元用y的数字符号代入后形成。括号中间的19，是变元y的哥德尔数，变元x的哥德尔数是17。变元y经过代入运算之后，依据哥德尔在前对于代入的说明，则subst(y,19,number(y))，就是将在y中出现的自由变元19代入之后获得的公式。这个代入的结果，使用哥德尔原著2000年译本的说法，实际上就是一个有自指意味的公式y(y)。由此，这个标号（8.1）给出的二元关系定义，直觉地看，就是在表示：二元关系Q(x,y)被定义为，x不是在w一致条件下y(y)的证明。

说有一种二元关系，是对于证明的否定关系，这是在放出什么信号呢？因为这个否定的二元关系来自于哥德尔定义17和定义31，而定义17和定义31所定义的关系是原始递归的，这就可以得到，Q(x,y)也是原始递归的。于是，哥德尔在前给出的可表达性定理就发挥作用了，我们的二元关系Q(x,y)似乎正对应于这个可表达性定理4，此处再重述一下这个可表达性定理4：

R(x₁,x₂,…,x_n)→provable(subst(r,u₁,…,u_n,number(x₁)…number(x_n)))          (3)

ØR(x₁,x₂,…,x_n)→provable(not(subst(r,u₁,…,u_n,number(x₁)…number(x_n))))     (4)

依据这个可表达性定理4，于是我们就有关系q，它带有自由变元17和19，构成了哥德尔不完全性定理证明中的标号（9）和标号（10）。

三、标号（9）和标号（10）解读

标号（9）是一个如同标号（8）那样的蕴涵表达式，前件为x与y的非证明公式关系，即Q(x,y)。由这种关系，衍生出证明和可证这两个有关证明概念间的关系。有点奇怪的是，一个悖论式公式的非证明公式关系，竟然导引出在递归w一致性c条件下肯定的可证性质。

标号（8.1）的代入，是一个自由变元的代入，标号（9）增加了一个变元。但标号（9）与（10）不是定义，而是蕴涵式。依然按照标号（8.1）的方式进行解读，先整理各个符号的常规理解。

先看标号（9）：

(Ø(proofFormula_c(x,subst(y,19,number(y)))→

(provable_c(subst(q,(17,19,number(x),number(y)))   标号（9）

这个公式为标号（9），它告诉读者，在Q(x,y)关系下，原始递归谓词”x不是相关条件下的证明公式”，这样的谓词该蕴涵着什么呢？

符号q是后件中的关系符号，它带有两个自由变元x和y，分别配以哥德尔数字17和19。而subst这个符号串，则是一个元数学的代入符号。至如那个number(x)和number(y)，则是与自由变元17和19同等类型的数字符号，也可以表示为，。

由此，这个标号（9）的后件就可以解读为：

当我们用number(x)来代入变元17，用number(y)来代入变元19的时候，关系符号q实际上做了这样的变换。那就是，在x中出现的所有17中的自由变元，都代换为number(x)。在y中出现的所有19中的自由变元，都代换为number(y)。在这种情形下的二元关系q，其实就被标号（8.1）揭示的非证明公式关系所蕴涵。

依据什么呢，回看标号（3）和（4）的表达定理，这个结论就十分清楚。因为标号（9）的前件就是Q(x,y)的二元谓词，而在标号（3）中，当n=2的时候，不正好就是标号（9）的表达式么？所以，这个标号（9）自然就成立。原始递归关系或者谓词的条件，也就自然蕴涵着这样关系下的代入运算是可证的。哥德尔似乎在这里又在显示某种符号世界的奇妙，可表达性定理4中的标号（3）似乎绝配似的对应哥德尔证明过程中的标号（9）。

再看标号（10）

标号（10）的表达式：

((proofFormula_c(x,subst(y,19,number(y)))→

(provable_c(not(subst(q,(17,19,number(x),number(y))))   标号（10）

这个公式为标号（10），刚才的标号（9）为否定式的前件，现在的标号（10）则为肯定式的前件，依据标号（8.1），标号（9）可以表达为Q(x,y)为前件，标号（10）则可以表达为ØQ(x,y)为前件。它们似乎是在表明，两类互为否定的证明公式proofFormula和可证概念provable之间的同一种蕴涵关系。

标号（10）解读

有了标号（9）的上述解读，标号（10）的解读就有了样板，但因为（10）的前件是一个否定式，在这里依然需要一些说明。

但这个解读，因为有标号（9）做铺垫，就可以简化许多。特别体现逻辑与数学中的对应特性的是，如同标号（3）对应于标号（9）一样，标号（4）似乎绝配似的对应标号（10）。标号（3）和（4）除了自身的对应，它们还分别对应了标号（9）和（10）。标号（4）的公式前件，恰好就是否定的。当其中的变元数字n=2的时候，正好表达的就是标号（10）的结果。

这篇博客，又是够长的了，从标号（10）到哥德尔不完全性定理证明的最后一个标号（16），恐怕还有一段长长的文字理解。这一次的估计应该不会错吧，从标号（11）到标号（16），不会再有什么停顿，一篇就该完成这哥德尔第一不完全性定理的阅读任务吧。