数字符号哥德尔数配置及变元、公式和谓词散议——哥德尔读后之二十二

这篇博文折腾了我近一个月，广州从8月以来几乎天天都在摄氏35度的酷热之中，满以为在秋凉之前可以完成，可你要从阅读哥德尔原著中找到些感觉，真还不是一件容易事。近几日老友传来一篇微信文章谈王浩，哥德尔生前好友，其中有两件轶事和我现在的心境有交汇，颇让人感触，现转录如下。

一件事情是讲金岳霖，该文说：

在联大，金岳霖开逻辑学入门课，课上基本是师徒两对练，金经常讲着讲着就问王浩：“哎，你小子说说咋回事啊？”王宪钧讲数理逻辑，沈有鼎讲维特根斯坦《逻辑哲学论》。有一次金岳霖想看哥德尔不完全性定理的论文，沈有鼎当众告诉他：你数学不行，看不懂的。金挺识时务，说不看就不看呗。

另一件轶事是讲何兆武和王浩的，该文说：

王浩，汉妮（王浩续妻）和何兆武同去德国海德堡时，何告诉王浩，山里有条当年黑格尔散步的哲学家小道，何和汉妮休息，王浩自己走了一趟，何问王感觉如何，王说：from nothing to nothing（从无到无）（参见‘’哲思学意‘’公众号文《谁是中国有史以来唯一对哲学做过深刻贡献的学者》）。

这哥德尔原著译本难懂，不看不知，看后方知此言不虚，难怪连中国逻辑的泰斗金岳霖先生都不敢看。不过，我却已经上了这条贼船多日，难道就弃船它就？在这折腾经月的日子，经常就有这“看还是不看？”的询问在心。不过，有关王浩的那个故事给了我一点底气，反正是从无到无，你舍弃也是无，你坚持也是无，何不就死皮赖脸地纠缠下去。博文就在这样的疑惑之中，断断续续地写下来。原本以为可以弄完哥德尔数配置的，但一万多字了，好像变元的配置，公式的配置，还有证明的配置还仍然有一段距离。那就先把这个散议当做一篇，哥德尔数的配置留待下篇吧。

王浩照片

一、数字符号序列的哥德尔数

上一篇讨论哥德尔数，我们仅仅给出了常元所对应的7个奇数，对于变元，则给出了其哥德尔数配置方法。那就是按照变元属于什么类型，给出形式为pⁿ的自然数来一一对应，其中的p为大于13的素数，上标的幂指数n则是指称变元类型的数字。

常元和变元，这是建构哥德尔系统P的基本部件。这样两类基本部件，宛如塑造生命体的蛋白质与碳水化合物，让形式系统这个有产出机制的符号客体，生成变换出这个大容器客体下的无数客体层级。这个基本部件的产出机制，我们一步一步地来整理它的生成结果。因为常元客体，它只是实施产出机制的功能符号，似乎不属于客体的有形部分，而只是客体间的关系、性质、数量比较等等。所以，它虽有产出，但产出的仅仅只有0与f结合而生成的客体个体。

以下大概是哥德尔P系统最为基本的产出，一个最底层下限的符号序列，这个符号序列表达为f0，即给零做后继运算。自然，这样的产出可以无限延伸，生成为ff0，fff0，…，等等。依据哥德尔的配数法，因为f为配数3，0为配数1，因此，这些符号序列可以分别配置哥德尔数如下：

f0的哥德尔数由3，1构成；

ff0的哥德尔数由3，3，1构成；

fff0的哥德尔数为3，3，3，1构成；

ffff0的哥德尔数为3，3，3，3，1构成；

…；

等等。

这些生成的常元符号序列，看起来都是在0的前面做着同样的加f操作，但随着f的不断增加，序列所指称的客体也随之而变。所有这些符号操作生成的客体，哥德尔称之为数字符号number-sign，它们依然具有常元的性质。因为，这些新生成的符号，总是指谓某个特定的个体，它们不是变元，也不是某个普遍的对象客体。

那么，是不是这些分别的数字3和1，就是以上序列整体的哥德尔数呢？当然不是。它们只是单个常元符号的哥德尔数，由这些单个符号构成的符号序列f0等，其哥德尔数是需要计算的，需要经过符合哥德尔配数规则的计算，我们才可以得到一个唯一的客体个体。而这个与哥德尔数互为对应的唯一性，正是哥德尔设计哥德尔数的一个出发点。

我们来计算一下，对于常元0从一个f到四个f操作而形成的符号序列，到底应该是个什么样的客体个体。要做出这种计算，得琢磨琢磨哥德尔的心思。哥德尔把7个常元设定为7个奇数，没有说明常元符号序列，实际上就是数字符号序列该如何配上哥德尔数。这篇简洁却深奥的论文，哥德尔数的设置奥妙藏蕴其中，从随后的变元配数中，我们大概可以窥见其基本数字符号序列的配数方法。

好在还有哥德尔的辅助读物给我们以提示，于是，我们约定，将这个数字符号序列对应到唯一的一个数，也就是一个按大小顺序排列的两个素数的乘积，其中每一个素数的右上方各加一个上标，这个上标就是对应于相应常元符号的哥德尔数指数。（参见内格尔《哥德尔证明》第61页）

由此，一个f0的符号序列，它以数字3与1配给了序列的两个项，最小的素数为2，接之为3，我们就可以得到这个数字序列的哥德尔数。

序列    f 0

配数   3 1

计算：2 ³* 3¹ = 24

所以，f0的哥德尔数为24。

再看ff0，

序列    f f 0

配数   3 3 1

计算：2³* 3³ * 5¹ = 1080

所以，ff0的哥德尔数为1080。

继之fff0，

序列    f f  f 0

配数   3 3 3 1

计算：2 ³* 3³ * 5³ * 7¹ = 189000

所以，fff0的哥德尔数为189000。

接之fff0，

序列    f f  f  f  0

配数   3 3 3 3 1

计算：2 ³* 3³ * 5³ * 7³ * 11¹ = 101,871,000

所以，ffff0的哥德尔数为一个很大的数字101,871,000。

这个过程可以不断地进行下去，由此可以说，每一个数字符号都对应唯一的一个哥德尔数。

那么，这样的哥德尔数真是唯一的么？我们以fff0为例，做一个例证式的列表说明。从上到下是从哥德尔配数回归到序列，从下到上则是从序列递进到序列的哥德尔数。

常元序列fff0

这样的哥德尔数匹配，在哥德尔论文原著英译本中并未例举。多本哥德尔辅助读物也未提到这种匹配，仅在一本科普性的日本著作中稍有涉及（参见结城浩《数学女孩》第333页）。也许，数字符号在哥德尔P系统中仅仅作为个体客体出现，并非是哥德尔需要直接处理的对象，无需特别关注。由此，我们对这类数字符号序列的哥德尔数配置，也就可自行简单概括为以下几段描述。

有关数字符号序列的哥德尔数配置，因为f的哥德尔数对应3，0的哥德尔数对应1，这使得任意常元数字序列所配置的哥德尔数，必然满足以下诸条件：

1）数字序列的长度和按照顺序排列的素数长度相匹配；

2）设数字符号序列的长度为k，则序列中f的长度为k-1。按照顺序排列的素数长度则同样是k，素数序列中的最后一个素数，即第k个素数则对应常元0。

3）长度为k-1的数字符号，匹配按照顺序排列的k-1个素数，这些素数的幂指数全部为数字3。

4）数字符号序列的最后一个常元0，匹配第k个素数，该素数的幂指数为1。

按照顺序排列的素数：2³，3³，…p¹。

设常元数字序列的哥德尔数为G，p为素数，k为素数的个数，

则以下乘积的结果，就是数字符号序列的哥德尔数：

G=2³ * 3³ *…*p_k-1³* p_k¹

数字序列这样的形式客体，可以看作是词项的哥德尔数配置。这让我的思路从常元的数字符号迁移到变元，继而迁移到词项。

二、词项与公式

（一）常元、变元和词项

把所有的字符都对应于数字，这是哥德尔的神奇想象，被《集异壁》作者誉之为天才的杰作（参见侯世达著《集异壁》第十三章）。这一想象被称为天才杰作，如果仅从常元组合成的序列来看其哥德尔配数，恐怕还看不出天才何在。哥德尔P系统的7个常元，逻辑常元3个并非Ø，或者∨，和全称量词"；辅助常元2个，左括号（，右括号）；有关数字的常元2个，就是我们刚刚评述过的后继f和数字0。这样的形式符号，可以称作第一类形式客体。

这样的常元结构，在常元范围内，大概只能产出数字符号，没有别的产出品，哥德尔的本意也在此。这个P系统的‘’个体‘’，没有别的东西，唯有从f与0产生的数字符号number-sign而已。这样的符号个体，若要做点类比，大致相当于自然语言中的专名，有时候又可能是罗素花过很多功夫讨论过的摹状词。别看系统P只面对数字符号个体，它可并不简单，它衍生出了形形色色的数学与逻辑品类。而数字个体要有这样的衍生功能，得需要一个和常元对称的变元概念参和才做得到。

罗素的摹状词理论

我们还是从基本的常元哥德尔数出发，讨论常元的意味，继而从常元过渡到变元，再从这两个客体元概括为词项。

形式系统的常元，当然是形式客体。但这个客体如果和实在世界作比较，大概很难找到可以比较的对象。它相当于这个实在世界的什么东西呢？自然界恐怕没有对应之物。这大概如德国数学家克罗内克评论自然数一样：

自然数是上帝造的，其它的数则都是人造的。

这里的所谓人造，不就是指，这是智者的智慧产物么？

形式系统的常元，也正是在这一点上可以和实在世界的语言客体相比，常元观念也应该是智者的智慧所造。我们最好不要到实在世界之中寻求对应物，而要在人的智慧中去寻找它的对应物才对。从这样的角度来看常元，一个看来比较靠谱的类比就应该是：形式系统的常元，大约相当于自然语言中的虚词。它不是对应自然世界的实体，如果是在哥德尔的P系统中，它仅仅对应于系统p中的数字个体，或者数字序列。虽然仅有数字这类对应，形式系统中的客体种属还是丰富多彩了不少。

智慧的神奇在于，智者的创造可以超越凡尘。系统P中的虚空常元0，就是借助同样虚拟的后继运算，从无生成了数字个体。颇有老子的“天下万物生于有，有生于无”的味道。接之，数字个体继而生成数字序列，而且，数字个体还可以提升为类，提升为类的类等等稀奇古怪的客体。而在这个提升的过程中，数字个体的生成，似乎必定要和另一个概念联系起来，这个概念就是变元。

老子图片

（二）变元与词项散议

上篇博文，已经提到变元的类型分层，那只是我们讨论变元哥德尔数配置的起点而已。用哥德尔的表述就是，第n类型的变元用大于13 的素数pⁿ来表示其哥德尔数。这看起来不是很复杂，不同类型的变元，使用素数的指数方式来配以哥德尔数就行。我们在给常元数字符号序列配置哥德尔数时，实际上就是使用的这种方法。很明显，变元作为客体，不再是某个个体客体，除非它被约束。变元往往是一类个体作为其变化的范围，也称作变域。就此而言，变元有点类似于自然语言中的普遍概念，或者普通名词。但哥德尔P系统中的变元，仅仅这样类比是不够的，因为形式系统的变元概念，并不仅仅可以和语言的普遍名词作类比，它还有可能代表别的什么东西。

变元概念，有文献表明，它是古希腊亚里士多德的伟大发明之一。我反复阅读过的一部经典文本《亚里士多德的三段论》，其译者之一是我最所敬重的李先焜老师（1926-2007）。有幸踏入逻辑之门，全赖先焜师的提携推举。该书的第一章第四节就专论变元，现摘录其中的一段：

把变项（原译文译名，变项=变元）引入逻辑是亚里士多德的最伟大的发明之一。就我所知，一直到现在没有一个哲学家或者语言学家注意到这个最重要的事实。这几乎是令人难以置信的。我敢于说，它们必定全是坏的数学家，因为每一个数学家都知道把变元引入算术在这门科学中开始了一个新的时代。（参见卢卡希维茨著《亚里士多德的三段论》第16页）

依据卢卡希维茨的论述，亚里士多德引入变元，是使用字母变元来来表示普遍词项。这样的变元替代，也就使得亚里士多德成为形式逻辑的创始人（参见《亚里士多德的三段论》第16页注释2）。这个古典的变元概念，到哥德尔那里，保持了变元替换的主要功能，但变元远超越亚里士多德那个时代的视野。在哥德尔形式系统P中，因为变元间的组合，因为变元与常元的组合，还因为变元个体的不同，使得形式客体似乎又萌生了许多新的对象，形成了不同的变元品类。这里的变元品类，我们当然可以按照哥德尔的变元类型的界定来理解。但是从变元涉及到的客体角度来理解，恐怕更有助于我们理解那个神奇的哥德尔数。

变元是个什么样的客体呢？如同常元在实在世界没有对应客体一样，变元似乎更没有对应客体，我们依然需要从自然语言中寻找变元的比喻性对应。数字个体对应于语言中的专名和摹状词，这自然让人联想到，变元最可能对应的是自然语言中的代词，特别是表示复数的代词，例如我，你，他，我们、你们、它们等等。这些代词没有固定对象，在不同的语境中代表不同的客体。这不就是变元替代的功能么？有语言学家评论人的行为，无非是两件事。一件事情是给客体命名，这构成专名。另一件事情是把命名后的客体和另外的客体联系起来，这构成语句。但这样评述人的行为，似乎忘掉了人对客体的抽象功能。客体并不是只有个体，还有个体抽象而成的类。所以人的行为至少有三个层面，一个层面是给个体取名，第二个层面，则是把个体抽象成类。然后才是第三个行为，把个体和抽象成类的客体联系起来。从哲学的角度讲，这个抽象成类的行为再提升为数学和逻辑的行为，变元概念功莫大焉。因为有了变元，从概念论出发的亚里士多德三段论逻辑才成为可能。同样是因为变元，现代逻辑才成为可能。

这个太带哲学味道的评议暂且到此，我们还是回到变元的品类中来，然后看这些品类如何配置哥德尔数。

两个常元‘’后继‘’和‘’0‘’构成的数字符号和符号序列，它们在形式系统中称作基础的形式客体，在逻辑中还有另外一个通名，称作词项term。这大概也是来自亚里士多德的古典称呼，因为亚式三段论逻辑，也常被称为词项逻辑。古典的词项对应的自然是名词，常元f和0构成的数字和数字序列，也正好具有古典词项的基本意义。但自从变元引入现代数学和现代逻辑之后，变元所具有的代词类似，使得变元也成为词项的一个部分。所以，在《元数学导论》一书中，克林首先把数字符号看作词项，这是基本。然后，但凡变元，也称作词项。由此，形式系统中的词项对象，就在常元数字符号的静态客体之外，增加了流动变化的动态客体了（参见克林《元数学导论》第73页）。变元的这种动态，在逻辑的发展史中，因变元之间的联结而形成的客体，似乎让变元超越词项的境界，从自然语言名词的功能，跃升到自然语言语句的功能了。这样的变元，原先作为词项的变元，也就可以作为命题的变元。

（三）命题变元

命题概念，其实也是亚里士多德的。他的《工具论》四篇中，有一篇就是命题篇。但亚里士多德大概没有猜想到，这命题观念也和他创建的“变元”有关。

逻辑从古典走向现代之后，真值联结词引入了逻辑学，函数引入了逻辑学，从而有了真值函数观念和命题逻辑系统。那么，真值联结词联结什么呢？它联结的可不是词项。算术的一些运算，如加乘运算，联结的才是数字词项或者数字变元。但逻辑连接词，既然是真值联结，因为词项没有真假性质，自然就不会是这类连接词的客体。而具有真值特性的客体，在逻辑和数学中，唯有命题，或者公式。而所谓命题逻辑，也就是以命题为演算对象的一个形式系统，也称为命题演算。

但命题和公式这类自然语言客体，含义多多，在逻辑和数学这样的学科之中，得要锁定它们的意义才有探讨研究的可能。在锁定这类语言客体的过程中，何为命题、何为公式的探讨，又造就出一些逻辑和数学的新观念。比如公式有开公式与闭公式之分，命题则如哥德尔所述，有基本公式elementary formulae和命题公式propositional formulae之分。这类形式客体区分的标志是什么呢？主要的区分标志就在变元，变元是我们理解不同的形式客体类型的标识所在。

首先，如果一个数字符号，它没有变元在其中，这样的数字符号一定是数字个体。这在我们为f0，ff0等等数字序列配置哥德尔数的时候，可以看得很清楚。这可以称之为零变元的数字序列，这样的数字个体其实就是常元本身。

第二，哥德尔只是简单地提及了数字符号，零元数字符号，即无变元的数字符号，那是数字个体或者数字序列。而第一类型变元，则是数字符号序列变元，变元的变域是个体数字。第二类型变元则是数字符号序列的变元，变元的变域则是一类数字。第n（n>2）类型变元，则是n次抽象而生成的数字个体类的类。

如果一个数字符号表达式中带有变元，那么，这些数字表达式用算术运算符号连接起来，就依然具有词项性质。例如x+y，若x，y为数字变元，则x+y依然是数字变元，这样的变元就具有词项性质。但细心的读者会发现，当你给出一个x+y表达式的时候，你只给了一个x+y的动作词项，这个动作好像挂起来了，话似乎还没有讲完，等待着主体进一步的评说。这个评说，单用词项是做不到的，要使这个挂起来的词项有一个结果，你必须使用公式或者命题去完成它。

于是，变元除了词项变元，又有可以表达任意命题的命题变元在。弄逻辑的人大都知道，词项虽然是语言的基础构件，但词项逻辑不是现代逻辑的出发点。亚式三段论逻辑是从概念论，由概念进而判断，这里的判断其实就是命题，再到推理。而数理逻辑却不是从概念出发，而是从命题出发。先有命题演算，再在谓词演算中把命题分解为词项，构成关于谓词的演算（参见莫绍揆《数理逻辑初步》第49页）。哥德尔的系统P就是一个典型例证，它的逻辑公理先有命题逻辑的公理，然后才是谓词逻辑的公理。这就在启示我们，有关变元的视界，有了数字个体变元的同时，一定接之就是命题变元。命题应该是一个形式系统，更为基本的形式客体。

而所谓命题，就是将真假，即所谓真值作为其性质的语句。哥德尔在其论著中没有专门提到命题变元，他大概把这看作是逻辑常识，不用特别指出。所以在其论文行文中，常常信手使用p，q，r等小写符号表示任意命题变元。例如其给出的四个命题逻辑公理，就是使用这样的命题变元符号。

由此，在作为词项的数字作为变域的变元之后，紧跟着的，就是命题作为变域的命题变元。于是我们看到，变元不仅仅是词项的，还是命题的。

在哥德尔的46个定义中，请注意其中的定义32。在定义32中，小写字母x与y表示的，不是词项变元，而是命题变元。

哥德尔定义32：x imply y ≡ Not(x) or y

                           x  and y ≡  Not((not(x) or not(y))

                           x equiv y ≡ (x imply y) and (y imply x)

                           略

哥德尔的这个定义46，实际上是通过常元符号Ø与∨，引入了新的逻辑符号。

引入蕴涵符号：x→y ≡ Øx ∨y;

引入合取符号：x∧y ≡ Ø(Øx∨Øy);

因为引入了∧，于是就有以下引入。

引入等价符号：xÛy ≡ (x→y)∧(y→x)。

命题逻辑中的命题，又有原子命题和复合命题之分，如同自然语言中单句和复句的区分一样。命题变元既可以原子命题为变域，也可以复合命题为变域，还可以在复合命题中出现两者的混合使用。命题变元这样的不同组合，只是命题逻辑中的情形。当我们审视命题逻辑基础上的谓词逻辑时，由于这样的逻辑深入到了构成命题的词项，就产生了有关命题的另一种分型。哥德尔没有关注命题逻辑中的命题分型，但他对命题结构所做的分析，实际上是现代谓词逻辑的套路。

哥德尔在其论文中，虽然没有特别指出命题变元，他大概把命题逻辑当作是背景性知识，无需特指，却简略地规定了基本公式，公式类，命题公式和n元关系符号等概念。由此，那两个自然语言的同义概念，命题和公式，就各有其特定的意义，不能像自然语言那样可替代式地使用了。我们也就仅仅使用‘’公式‘这个字符，来表示那些具有真值或者真值函数的客体了。’

形式如a(b)的符号组合，其中b是第n类型变元，在前的a是n+1类型变元，哥德尔称之为基本公式elementary formula。这样的基本公式，把我们从命题逻辑的层次提升到了谓词逻辑。这里的‘’谓词‘’观念我们随后还会有专门评议，此处暂且不表。它表明，我们对于命题的关注深入到了命题的构成部件，命题变元只是作为替代命题的符号起作用。从这个意义上讲，哥德尔P系统的变元只是词项客体，而非命题客体，也就十分自然。以下对于公式类的定义，就是用小写的a，b来表示命题变元，但这样的变元变域，在一阶谓词逻辑中基本上不会多所讨论，人们关注的似乎只是构成命题的词项变元，这个词项变元又有点和命题的含义纠缠在一起，有时让人颇感迷惑。

因为词项变元数量的不同，公式开始有了开闭之分。哥德尔不是这样命名，他沿用了他给词项的分型方式，也用变元数字的多少来确定公式的类别。

命题公式和闭公式

不含自由变元的公式，即所谓零自由变元的公式称作命题公式。这里命题公式中的‘’命题‘’，大概取‘’命题‘’作为自然语言语词所包含的基本含义，既然有含义，自然该公式的真值就被确定，这样的公式就是闭公式。

开公式

如果一个公式带有自由变元，则该公式的真值未予确定，这被称作开公式。但哥德尔有自己的一般性界定，他的公式界定方式，应该来自于英国逻辑学家德摩根。德摩根主张公式不应该是亚里士多德式的主谓结构，而应该使用一般的关系词，其后出现的现代数理逻辑，采用了德摩根的主张。这个主张传承到哥德尔那里，又为哥德尔所用（参见莫绍揆《数理逻辑初步》第56页）。

设有公式A，A中自由变元数为n，

如果n=0，即没有变元，则A为命题公式propositional formula ，这是闭公式；

以下则为开公式，即德摩根所说的词项之间的关系：

如果n=1，则A为类符号class-sign，这大概就是主谓词组合成的一元公式；

如果n>1，则A为n元关系符号n-place relation-sign。

哥德尔的这类形式符号，名之为关系符号，实际上表达的，或者是真值确定的闭公式；或者是也称作命题函数的开公式，或者是开公式的公式序列。但n元关系符号的公式命名，必定要和我们在前面提到的谓词逻辑中的谓词概念紧密相连。于是，我们关于形式客体的讨论，又从命题的层面，回归到词项的层面，这个词项就是谓词。但谓词似乎是一个处于词项和公式之间的过渡观念，它是谓词，却又以一种含蕴的方式指向有真假的公式。这样，命题在谓词逻辑中的分型，那个称之为n元关系符号的形式客体，又有一个经典的词项称呼，那个所谓n元关系符号中的关系，更有逻辑意味的称呼其实是谓词。

三、谓词变元

上个世纪的80年代，我所尊敬的另一位学者康宏逵，翻译了一本《这本书叫什么》的逻辑谜题书，原著作者斯穆里安（R.M.Smullyan1919-2017）。当时还以为这个斯穆里安是一位逻辑通俗书籍的科普人士呢，近几年关注哥德尔才知，这可是一位哥德尔研究的美国逻辑大家。近期出版的好几本中年学者的译著，都是这位斯穆里安的，如余俊伟译《哥德尔不完全性定理》2019，刘新文等译《数理逻辑入门》2019，皆是这位斯先生的大作。康先生很少称赞人，他在他那个译本的序言中，却甚为称赞斯先生是真专家，而且是踏踏实实的。

斯先生的那本《数理逻辑入门》有点意思，他用很是精炼的概括来说明谓词。

什么是谓词呢？谓词就是若干个参数之间的关系，而这个关系表达式恰恰就是哥德尔论文中的表达关系的形式客体R(a₁,a₂,…a_n)，这也正好是斯先生对谓词的表示：

对于任意正整数n，一个符号的集合称为n元谓词或者n度谓词。

然后，斯先生把这些符号的集合使用替代式的大写字母，这些大写字母就表示谓词。

使用有或者没有下标的大写字母P，Q，R来表示谓词，其上的度可以结合语境而定。（参见斯穆里安《数理逻辑入门》中文版2019第166页）。其上的度，则意指关系项的计数数字。

这种谓词表达式，其实就是哥德尔n元关系符号的替代式。把哥德尔原著中的关系式摘录出来，很容易窥见斯先生和哥德尔的一致。

哥德尔在其原著英译本上有这样一段论述：

我们用Φ(a)这个自然数来指称对应于基本符号a或者基本符号序列a的形式客体。现在，设有一个表达关系的形式客体R(a₁,a₂,…a_n)，它是一个基本符号类间的关系或者基本符号序列间的关系。我们给它指定自然数的类（或者关系）R’(x₁,x₂,…x_n)，这个R’关系对于(x₁,x₂,…x_n)成立，当且仅当存在a₁,a₂,…a_n使得x_i=Φ(a_i)(i=1,2,…n)并且R(a₁,a₂,…a_n)成立。我们用同样的字符，但用斜体字表述自然数类和自然数关系。这些自然数已经用这种方式指派给那些预先已经定义好的元数学概念，包括“变元”，“公式”，“命题公式”，“公理”，“可证公式”等等。因此，在系统P中存在不可判定命题，就读做如下：存在命题公式a使得既不是a，也不是并非a是可证公式（参考哥德尔原著1962和2000两个英译本的编译）。

这段摘录中的Φ(a)，就是给n元关系符号R(a₁,a₂,…a_n)配置的哥德尔数替代表达式。那么，这个Φ(a)如何获得的呢？我们在厘清谓词概念和它的替代表达式之后，再来琢磨这个替代哥德尔数的配置。因为正如斯先生所言，我们用P，Q，R来表示谓词，但这只是谓词的替代式，其原形还需要依据语境来确定。

如哥德尔所言，我们先有一个形式客体R(a₁,a₂,…a_n)，它有n个基本符号自由变元从a₁,a₂,…到a_n，这正对应斯先生的n元谓词概念。于是哥德尔用关系来说明的那些公式，就可以转换一个说法。

设有公式A，A中自由变元数为n，

如果n=0，即没有变元，则A为命题公式propositional formula ，这是闭公式。这个闭公式可以看作是零元谓词，零元谓词相当于哥德尔的命题公式。它的真假是自身所确定的，例如1=0这样的公式，这里的等号作为谓词，但因为无变元，一看就知道这种谓词公式的真假值。这样的零元谓词，刚刚说过，对应于哥德尔的命题公式。不过零元谓词还存在一种情形，当命题变元的变域是原子命题，并不涉及到构成命题的词项构建的时候，它也包括以命题为变元的公式。

如果n=1，则A为类符号class-sign，这大概就是主谓词组合成的一元公式。这个一元关系的公式，通常看作表达某个客体自身的属性。例如A(a)，它就是一元的，那个变元a的属性就是A，或者a属于A类的一个成员。前述哥德尔的基本公式a(b)，就完全如同一元公式A(a)。这样的一元关系客体，从零元进到一元，这就是一元谓词。由于一元谓词中的那个唯一变元，在代入某个个体客体后，该关系表达式的真假立见而成为一个命题公式。这个一元谓词表达式，还有另一个称呼，称作一元命题函数。关系、谓词和函数，含义相近，又各不相同，得在阅读逻辑文献中反复琢磨。

如果n>1，则A为n元关系符号n-place relation-sign。它表示n个变元之间的关系，这种关系把变元客体串通起来，这样的n元关系符号，就成为n元谓词。它也是命题函数的一种，但命题变元的类型则以其谓词中的变元数为依据。

于是，在以上提到过的无变元的常元形式客体之外，就有无变元的命题公式、以命题作变元的开公式，和以谓词作变元的开公式。

形形色色的公式，除开哥德尔所说的命题公式之外，更经典的命名应该是命题变元，这是哥德尔数配置的又一类形式客体。当我们从谓词的角度来思考公式客体的时候，变元似乎又多了一个类型，那就是谓词变元。

这篇博客也够长的了，有关谓词变元的思绪好像有很多可说之处，看来再加上诸多的谓词叙说，博文就更长了，我得暂且打住。因为哥德尔的46个定义之中，许多都涉及到谓词，恐怕还需要同样的篇幅，那就让博文太长了。

有关谓词和哥德尔数的余下配置，且待下篇再说。