逍遥游 一致性和哥德尔两大定理—— 读哥德尔之七

内格尔那本《哥德尔证明》的导言，是《集异壁》的作者侯世达为之撰写的。侯世达1959年初涉哥德尔，1972年那一年，他在一趟驾车横穿美国大陆，风餐露宿多日的旅行之后到达纽约。他的哥德尔之旅由此而再次开启，并最终弄出了那本厚厚的《集异壁》大作。看来，学术总会和人的旅游涉事有那么一点关联。即使新冠疫情之下，远行不宜，也会迈开脚步，看看你周边的世界。

由是，如同上篇开首想到广州的官洲生物岛一样，本篇讨论一致性，这个一致性的另一种意蕴，也许和模拟有关。你前面做过了一件事，接着前面的模式来再做一个。这种模拟，让我在本篇开首想到了广州的南沙，一个离广州城区100多公里，广州最南部，紧靠珠江入海口的南沙自贸区，特别是那个处于南沙南端之角的十九涌和渔人码头。

南沙略图

南沙的十九涌

十九涌渔人码头

南沙湿地

南沙珠江出海口，南向伶仃洋，西邻中山，东临东莞与深圳

中国的庄子，我这里有《庄子通释》一书，其首篇为逍遥游，开篇首句：北冥有鱼。庄子这首篇所求者：无所待而游于无穷也。但庄子首篇《逍遥游》提到的北冥，通释中释为北海，却令我有点疑惑。庄子所在年代和地理位置，其北面会有海么？这大概纯粹是庄子的想象吧。但庄子文本随后，又有些对称地提到南冥：

是鸟也，海运则将徙于南冥。南冥者，天池也。

这里的天池，大概就是通释解释的：自然形成的大海。南冥者，南面的大海也。南沙的十九涌，南临伶仃洋，朝向浩瀚无尽的南海，也许，那就是庄子的南冥吧。

但我这个想象还真只是一个想象，在广州对于江河和大海的一种情结，其实就是一个虚拟性的想象。而且，你很容易联想到庄子这个逍遥游中的鲲鹏，联想到庄子提到的这个北冥，还有南冥。逍遥游的主旨是无己，无功和无名，一种寻求绝对自由的心境。我在这里再来做一点模拟，那岂不有点哥德尔的柏拉图主义意味么？也许真有那么一点。哥德尔导言中讨论的那个“一致性”，就有点柏拉图主义的味道，而在我这个以汉语为母语的人看来，其中似乎也有一点庄子哲学的味道。

这样，我就从庄子跳到了数学和逻辑，跳到了哥德尔导言中的一致性。

一、数学（包括逻辑）永恒与一致性

我所在的一个微群好像聚集着一批很为实在论的学者，竟然认为依靠bzf可以弄出一种数学或者逻辑或者元数学来。我无意争辩，但总会被刺激得要表白一下才好。好在读哥德尔还能给人一点抒发感受的机会，因此，这个一致性问题的小文，先从数学（包括逻辑）是个什么东西讨论起。

从古典时期就开始的学术研究，可以列出长长的一串成果清单。其中，数学学科的成就，如同英国数学家哈代（Hardy1877-1947）所言：

数学家的学科是所有学科中最令人好奇的——没有哪门学科的真理能以这种奇特的方式出现。它蕴藏着最复杂的也是最迷人的方法，而且提供了无与伦比的展示绝对的专业技巧的机会。最后，正如历史已充分证明的那样，数学成就，无论其内在的价值如何，是所有成就中最永恒不朽的。......

历史有时也会开奇怪的玩笑。......

语言可以失去生命力而数学思想却永葆青春。......

但总的来说，科学史是公平的，数学史尤其如此。没有一门学科像数学那样具有清晰一致的评判标准，那些被铭记的人几乎都是值得纪念的人。

（哈代著《一个数学家的辩白》中译本第30-31页）

哈代对数学的这种观念，大概可以理解为：数学有一种永恒。而表现出这种永恒的就是那历史长河中的一串成果清单，这些清单中的学者铭记着数学的永恒。因为他们的身后，留下了一些具有永久性价值的东西，如同时间的永恒，宇宙的永恒。而这种永恒的另一种观念体现，我以为不是别的，就是我们在上述引文中提到的：没有一门学科像数学那样具有清晰一致的评判标准。

既是清晰的，又是一致的，这就是对于学科评判标准的两个最为适当的观念。

而所谓一致性，不仅表现在数学的科学评判标准上，还表现在数学的美学评判标准上。这同样可以引用哈代的描述。

数学家的造型与画家或诗人的造型一样，必须美，概念也像色彩或语言一样，必须和谐一致。

（哈代著《一个数学家的辩白》中译本第33页）

怎样才是数学的美？那就是，它必须和谐一致。这就告诉我们，一致性这个东西，并非是毫无意义的书呆子观念，或者毫无理性依据的无稽之谈，而是严肃学者无论如何都绕不开的一个刚硬标准。由此，在哥德尔原著英译本的导言之中，在内格尔那本《哥德尔证明》之中，反复地讨论这个不着边际的一致性，就是一件特别自然的事情了。

二、一致性和“ѡ-一致性”

哥德尔文本导言先来说明不一致，然后再来谈“一致性”的。

如果一个形式系统（演算）“不一致”，它将同时包含“可证”公式f和“可证”公式Neg f，这个neg f，其neg的否定含义可以用波浪形符号～来表示，neg f就可表示为～f。如果其“公理”和“推理规则”能够使这种“不一致”演算得到解释，将Neg解释为“否”，将“可证”公式解释为代表了一个可证命题，由此这个表述了的演绎系统包括了命题逻辑的一个演绎子系统（如哥德尔演算P的情况），则该演绎系统将具有这样两个定理的组合，一个是得到证明的命题p，一个是得到证明的命题～p。定理p并且～p的合取就构成了自相矛盾。该演绎系统,由此在这个自相矛盾术语的通常意义上，而成为了不一致。这当然就是为什么哥德尔使用相同的语词来表示这样一个演算，而导言作者在单引号中也使用相同语词的原因。

由于p⊃（p∨q）等同于（p∧～p）⊃q，它是命题逻辑中的一个公理或者是一个定理。在哥德尔的系统P中，这个公式属于其公理模式中的一个，可参见哥德尔文本第41页，并且，因为分离规则“q是p∧（p⊃q）的直接后承”是命题逻辑的一个推理规则，哥德尔的P系统又使用了这个相应的“规则”，由此，任意命题都可以是自相矛盾的逻辑后承。一个包含命题逻辑子系统的不一致的演绎系统，将包含每一个命题，无论该命题是否为系统中的一个定理。

因此，一个演算如果可以被解释为表述了一个演绎系统，而该演绎系统带有很少量它所要求的性质去包含命题逻辑，并且如果该演算是“不一致的”，则演算中的每个合式公式都“可证”。这样一个演算自然不会有任何意义，因为其中的公式将没有“可证”和“不可证”的区别。这就是为什么元数学家如此重视演算是否“一致的”的主要原因，除了该演算是否实际上被解释为表述了演绎系统这个原因之外。

由以上简要论述可知，一致性恰好是不一致的否定，当一个系统推不出两个互相矛盾的命题的时候，我们就可以说，这个系统是一致的。满足不了这个推不出的条件，则该系统就是不一致的。

如果演算P是“不一致的”，则其所有公式都将“可证”，因此无法满足“ѡ一致”的条件。导言作者使用的这个“ѡ-一致性”，在这里应该给出一点说明。

自莱布尼兹设想普遍语言，把算术加设想为逻辑加以来，现代数学尤其是现代逻辑在他设想后不到两百年，因为布尔代数的实现，而产生逻辑的数学化趋势。在这样一个潮流之下，“一致性”概念不断地受到逻辑学家和数学家的关注。例子很多，这里仅就我较熟悉的模态逻辑发展走势，对美国学者C.I.刘易斯的一致性探索做点回顾。

刘易斯在构造其模态早期严格蕴涵系统S1-S5的时候，一致性就是其公理集合B中的公理B8,这个公设因为有一个一致性的算子，而被称为一致性公设。这个一致性在刘易斯那里是一个运算符号，用模态词表示，相当于模态词的“可能”。仔细地考量考量，这两者真还有些相互依赖的东西。但这样的理解随着元数学的出现，很快就发现有点混淆了元语言和对象语言。不过，刘易斯对于一致性，可能性还有必然性的探索，虽有语言混淆之误，却创立了一个另类逻辑：模态逻辑。

到了哥德尔那里，依据王宪钧先生的描述，哥德尔1930年开始考虑数学分析的一致性问题。到1931年，他给出那个著名的论文《PM及有关系统中的不可判定命题》。该论文证明了两个不完全性定理，现在称第一不完全性定理和第二不完全性定理。两个定理的证明，都与“一致性”密切相关。

第一不完全性定理说的是：

一个包括初等数论的形式系统P，如果是一致的，那么它是不完全的。

第二不完全性定理说的是：

一个包括初等数论的形式系统P，如果这样的系统是一致的，那么，其一致性在该系统中不可证。（参见王宪钧《数理逻辑引论》第333页）

现在轮到讨论“ѡ一致性”了，哥德尔的“ѡ一致性”出现在他开始证明命题六的前面几个段落之中，其中的一段是：

设c是任意公式类，我们用Flg（c），即c后承的集合指谓那个公式的最小集合，这个最小公式集合含有c的所有公式和所有公理，并且它相关于那个直接后承关系封闭。c由此就用”ѡ一致性”这样的词项来表示，如果没有类符号a使得：

其中，v是类符号a的自由变元。

那么如何来理解哥德尔描述的这个”ѡ一致性”呢？用《元数学导论》一书的解释可以概括如下（参见克林著《元数学导论》227页）：

如果我们有一个p∧～p的合取，这个公式也可以用～（p∨～p）表示，它在形式系统P中不可证。我们就应该换一个元数学的论证方式，给出一个等价的假设。

就如果A假则A不可证而言，这个等价物就是系统的简单一致性，这里的简单一致性是指，没有公式A来使得我们既推出A，又推出～A。这是一种一致性，简单一致性。

也可以再换一个角度，就如果～A假则～A不可证而言，我们需要的是更强的一致性条件。这种更强的一致性条件，即ѡ一致性，它可以给以通俗地定义，因为它多是以否定的方式给出其特征，对其定义的理解会感到别扭。

如果一形式系统中不存在变元x及公式A(x)，来使得“并非所有的x有A性质”，同时，又对每一个自然数n都能使得n有A性质。这个形式系统，就称作具有ѡ一致性。

由此，自然就可以得到ѡ不一致性。

如果一形式系统中存在变元x及公式A(x)，来使得“并非所有的x有A性质”，同时，又对每一个自然数n都能使得n有A性质。这个形式系统，就称作具有ѡ不一致性。

这种ѡ一致性是比简单一致性更强的一致性。

因此，如果P为“ѡ-一致”，则它也为“一致”。 “ѡ-一致性”的概念与有限论的证明方法密切相关。在此不再赘述，因为它不是哥德尔形式系统P的“不可证”定理的必要条件。1936年，Rosser通过一个涉及递归类符号的论证，该论证比哥德尔的r（v）更为复杂，建立了一个对于P的不可证定理，对于P的条件要求，就是P的一致性。

希尔伯特和他学派的主要目标是建立能够被解释为表达算术的演算的“一致性”，从而证明算术演绎系统的一致性。对他们而言，本文包含的第二个伟大定理比“不可证”定理更令人震惊。因为，这个第二定理，证明了表达P“一致性”的公式在P中的不可判定性，由此而显示出：P的一致性，如果P是一致的，则不可能借助在P内的证明来建立。也就是说，这类证明是指开始于P的公理，并且仅使用P的推理规则而获得的证明。当然，如果P是不一致的，则P的一致性和P的不一致性则在P内可以得到证明。

三、对于P的一致性定理的不可证：第二不完全性定理的证明

哥德尔用一种一般形式，对应于他的命题六，证明了命题十一（XI）。这个命题十一，涉及P中的“演绎”和“证明”。与命题六一样，导言作者继续以简化形式来讨论哥德尔的命题十一。这种简化形式，仅涉及到命题中的证明。同样，这种简化形式也是取类c为空类，由此而得，B_c和Bew_c分别等价于B和Bew。

以这种方式简化的命题十一（XI）可以陈述如下：如果形式系统P是“一致的”，则它的“一致性”在P内是“不可证明的”。

这正是前述王宪钧先生在《数理逻辑引论》中，所说的第二不完全性定理。

为了证明这个定理，哥德尔使用了他的“不可证”定理证明中，证明末尾所建立的结果。他的“不可证”定理的结论，可以表达为：

如果P是“一致的”，则公式p（Gp）是“不可证”。

因为，正如我们已经看到的，该公式可以被视为表示其自身的“不可证”，这是一个元数学命题的表述方式。

P是“一致的”→p（Gp）“不可证” 

上述元数学命题，可以在P中用“P中‘可证’”，也就是这样的公式来表达，

w Imp p（Gp），

其中w符号不再用作变量，它是在P中表达P的“一致性”的递归公式，而u Imp v在P中表示该命题模式为：并非a或b（参阅定义32）。然后根据“直接后承”（参阅定义43）的定义得出，如果w为“可证”，则p（Gp）也将为“可证”。但是，如果P为“一致”，则p（Gp）为“不可证”，w也是如此。因此，表达P的“一致性”的公式w在P内是“不可证”，当然，前提是假设P是“一致的”。

在哥德尔论文中，哥德尔仅宣称“概要式地”给出他的命题十一（XI）的证明，他打算随后“详细”展示它的续篇，但这个续篇从未出版过。确实，在细节证明的部分，建立了w Imp p（Gp）在P中是“可证”的，这个证明也要求在P中展示出w Imp p（Gp）的P中有一个“证明”，但那是一个漫长而复杂的任务。然而，从表面上看，哥德尔的证明“概要”存在一个空隙，即如何在P中构造表示P的“一致性”的递归公式w；但这个空隙可以通过罗瑟（Rosser）的论证来轻松地弥合。假设t为在P中“可证”的特定公式；例如它是P的“公理”之一。如果Neg t也为“可证”，则P为“不一致”。但是，如果P是“不一致的”，则每个合式公式在P中都“可证”，因此Neg t“可证”。这样，P的“不一致”在逻辑上等同于Neg t的“可证”，而P的“一致性”与Neg t的“不可证”等价。因此，所需要做的就是在P中使用一个递归公式来表达Neg t的“不可证”，这却是很容易提供的。

x B y表示：x是公式y的“证明”。它是一个递归关系符号（定义45），其中x和y是其自由变元；由此Neg（x B Neg t）是一个递归类符号，其中x是其自由变元，而x Gen [Neg（x B Neg t）]是一个递归公式，它在P中表示Neg t的“不可证”，它等价于P的“一致性”。因此，上一段证明中的w可以认为是x Gen [Neg（x B Neg t）]，在这种情况下，该证明当详细给出时，将完全满足有限主义者和建构主义者的要求。

哥德尔在论文结尾说，他的“一致性”的“不可证”定理，表明了“与希尔伯特的形式主义观念没有矛盾。”因为这个观念，仅预设存在通过有限手段实现的一致性证明，并且有可能构想，存在着不能在P''中陈述的有限证明。这是哥德尔的虔诚希望，在被有限手段影响的希尔伯特概念中，当哥德尔用精确性的缺乏说出哥德尔的虔诚希望时，他的虔诚希望体现了合理性。这篇论文以及哥德尔后来的著作，对希尔伯特概念的澄清，都做出了显著贡献，依据递归性概念和该概念的扩展，这些概念得到了很好的阐述。现在可以肯定的是，在仅使用这样的概念并且能够表达算术的形式系统中，不可能建立自己的“一致性”（如果它是“一致性”的话）。 1936年，根岑（Gentzen）能够证明这种形式系统的“一致性”，但只能使用非构造性的证明方法（“超限归纳”），而这种方法不在系统构造性“推理规则”之内。 

哥德尔在他的论文中，通过精确意义上的建构性方法建立了他的两个伟大定理，那就是第一不完全性定理和第二不完全性定理。这一方面表明了对建构主义形式系统的本质限制，包括所有这样一类系统，即以“数学归纳法”为基础进行算术演算的系统。另一方面，则显示了建构主义方法建立元数学真理的能力。对于哲学逻辑学家而言，能够建立某些算术公式的内部不可判定，似乎比提供为希尔伯特学派所希望的整个算术判定程序更为杰出。