生物岛 理查德数和哥德尔G数 读哥德尔之六

小小的新冠病毒，在全世界肆虐了一年多，还没有歇息的意思。那些荒唐的文化熏陶，好像也没有歇息的意思。但生活得继续，学习也得继续，养生健身也得继续。啃哥德尔那颗硬果的同时，经年累月的疫情，觉得那生物世界真乃是奇妙无比，耐人寻味。于是，沾点生物标签的地方，突然有一天就映射到我这里。

广州的官洲国际生物岛，一个四面被珠江南航道包围的小岛，早有所知，却大都经官洲地铁站一晃而过，并没有实地看看。这读书消闲之余，该把这个空白给填补起来。近段时间，也就专程去了好几次广州生物岛。沿着周边6公里多长的滨江健生慢跑绿道，前后环岛慢跑两次，还真有点味道。真可谓：

官洲小岛，绿道慢跑。

江畔清风，珠水环绕。

生灵万态，灵在思考。

求知解惑，健身怡脑。

生物岛所研究和创制的东西，当然是无所知，但环岛慢跑的那种超脱意境却隽刻心底，我且以几张島景照片代言，让余下的文字留给阅读哥德尔吧。

几张广州生物岛照片

生物岛全景

静谧弹性的慢跑绿道

生物岛东面岛尖

生物岛里程表

一、简化哥德尔的“命题六（VI）”

哥德尔的东西当然难懂，但他的文本也有出现轻松的地方。在为他那个不可判定定理证明做了前期的铺垫，定义了1-46个相关概念，给出了五个不用证明而被看作成立的命题之后，从第51页开始，进入到他论文的证明主体部分。

在这个节口，哥德尔似乎行文中充盈着青春的风采，语言虽简短，却颇有点虎虎生气：

“现在我们来了”we now come to the object，“为我们的演练目标”——即“不可证”定理的证明，我们来了。

哥德尔在这里给出了命题六，接之，他又给出了命题六的一个证明。这个证明，让我们得以窥见，他那个对于P的不可证定理有个什么样的思路。命题六的整个证明长达数页，本篇博文，将依据文本导言的描述，以一种简化的方式来理解其证明过程。

先给出哥德尔的命题六截图：

这个截图的中文应该是：

命题六：对于每一个公式的ω-一致性的递归类c而言，都存在对应的递归类符号r，使得既不是v Gen r属于Flg(c)，也不是Neg(v Gen r)属于Flg(c)（其中，v是r的自由变元）。

哥德尔假定了一个c类，如果以简化形式讨论命题六，其中所添加公式的类c，可以简化为空类，那个Flg是德文“后承集合”的缩写（set of consequences）。现在把c看作空类，也就是表示，没有向公理中添加任何公式。因此系统P之内的一个“ c可证”公式与P中的“可证”公式是等同的，并且该论证仅与P中的“证明”有关。因此，哥德尔的B_c就被视为等价于他的关系B，而Bew_c被视为等同于他的性质Bew。这个Bew，也在文本的符号表中有解释，它是德语的一个缩略语，翻译为中文就是“可证”（provable）。

由此，以这种方式简化的命题六可以用斜体字表示如下：

如果形式系统P满足“一致性”的特定条件，则P中至少存在一个递归类符号r，使得既不是υGen r在P中“可证”，也不是Neg（υGen r）在P中“可证”，其中υGen r是r关于其自由变量υ的普遍化。 

那个gen符号为general的缩写，即所谓普遍化的含义，哥德尔的定义15中对这个符号有确切的规定：

定义15.x Gen y是借助变元x对y的普遍化。

命题六证明的主体部分在哥德尔文本的第53-55页中给出，从53页的（8.1）一直到55页的（16），这个标为（16）的证明阶段，延申至哥德尔整篇论文第2章的尾部。

哥德尔用哥德尔数和哥德尔数之间的关系来陈述他的论证。当这些“关系符号”，“自由变元”，“类符号”，“可证”表达式使用时，都用斜体字显示，以表示它们是适用于哥德尔数的算术概念。适用于哥德尔数的这些概念，和适用于具有这些哥德尔数的字符串的元数学概念之间的关系，是一种对应关系。因为这种对应关系，如果将哥德尔的符号解释为字符串，并且，那些关系符号，自由变元等等词项，都取其常态意义，那么他的整个论证就同等地应用良好了。

二、理查德数，理查德性质与哥德尔文本中的G数

哥德尔的论证是一种元数学的论证，虽然主要依据数字来表达。如果完全用元数学术语，也许对哲学逻辑学家提供了方便。若是，则公式的解释将可以在合适的位置，并在以下假设的基础上，用括号插入。那么，这个假设是什么呢？它是把演算，也就是哥德尔的形式系统P，解释为表述了一个演绎系统，而该演绎系统则包括了命题逻辑，和一阶谓词逻辑。

然而，用元数学术语重塑哥德尔的论证，使得做一次不那么重要的修改成为必要。哥德尔的论证，建立了Neg（υGen r）的“不可证性”。对其论证的部分而言，这种“不可证性”要求在某一个点上考虑有关所有数字的陈述，无论它们是否为哥德尔数。并且该陈述不能毫无变化地被解释为是相关于所有字符串的陈述。因为，一个不是哥德尔数的数字并不对应于任意字符串。但是，在重塑中填平那个缝隙却相对容易，那就是在重塑中，通过考虑这样的一类数，这些数是作为哥德尔数而安排在不断增加量级的系列中，然后予以使用，不是使用哥德尔数本身，而是使用在系列中给定这个哥德尔数位置的那些数。

更精确一点地说，这里得引进一个G数的概念。如果n是按递增次序的第（m + 1）个哥德尔数，则称m为字符串的G-数，其中的n则是哥德尔数。并且，在哥德尔的论证中，他在什么地方使用哥德尔数n，他就同时也在使用G数m。

在哥德尔文本中似乎没有单独提到G数，但文本导言，英国剑桥大学的R.B.Braithwaite哲学教授(以下简称R.B.B)撰写，还有内格尔的那本《哥德尔证明》，都反复强调了这个G数概念，这使得有必要在这里说说什么是G数？ 而对G数进行讨论，不得不把我们对于自然数的理解，还包括对于语言符号的理解，回溯到哥德尔在欧洲的另一个前辈，那就是G数创建人，法国数学家理查德（Richard Julis1862-1956）那里。

理查德照片

哥德尔出生的前一年，也就是1905年，法国数学家理查德构造出一个奇妙的怪论，这个怪论的出现，衍生出了三个以理查德命名的概念，一个是理查德悖论，另一个是理查德数，第三个是理查德性质。通过对这些以理查德命名概念的理解，我们会对哥德尔定理证明的思路有所感觉。

我们首先来梳理理查德数。

理查德把我们有关算术的一些定义按照字符数量排序，这些字符包括字母，空格和标点等符号。由此，每一个定义自然可以用某一个整数来与之对应，一个定义对应一个整数，也就是构成一种一一对应关系。我们把这些与定义对应的整数，可以按照数字大小进行排序从而形成一个数字系列。这个数字系列是我们定义理查德数这个概念的条件，没有这个定义排序构成的数字系列，就不会产生理查德数。

由此而可知，并不是这个序列中的每一个数字都是理查德数。定义“理查德数”还需要一个紧密相关的性质，那就是另一个也以理查德命名的性质：理查德性质。

所以，什么是理查德数？是依赖条件定义的。这个条件就是我们马上要说到的另一个概念，理查德性质。

现在我们来梳理理查德性质。

虽然一个定义排序形成的数字系列并不都是理查德数，但可以想象的是：每一个理查德数，一定对应于某一个定义。既然是定义，该定义就一定表达某个性质。我们先以《几何原本》的素数定义为例，为便于描述，文字稍有改动：

定义11.素数是指“只可以为一个单位（即数字1）所量尽的数”。

这个定义中双引号内的汉字“只可以为一个单位（即数字1）所量尽的数”，表达了数的某个性质，所用汉字数（不包括园括弧中汉字，也不包括引号）为13，其对应序号按汉字符号个数记，标之为13。由此就可以说，13代表了这个素数的定义。显然，13本身就是一个素数，那么这个数字13，是否是理查德数呢？

我们继续来面对这个疑问。

且更换一个和素数定义字数有点不同的整数中的定义，依然取自《几何原本》，我们再取偶数定义为例：

定义8：偶数“可平分为两部分”。

（定义11和8参见《几何原本》中译本第213页）

这个定义“可平分为两部分”，总共7个汉字，其对应序号标记为7。我们自然可以用7代表该定义所表达的性质。而且，这个7本身不是一个偶数。那么，这样的数字是否是理查德数呢？

可以用“理查德性质”来表示被排序的有些定义的性质，也就是说，在所有被排序的定义描述中，如果一个定义相关于对应的排序数，我们可以区分出两种情况。

一种情况是，定义短语所描述的性质为对应的数字所具有，这称作定义短语和对应排序数字一致的性质。如同上段素数的定义，它所对应的数字13恰好就具有素数的性质。这种一致性质并不为理查德所关注，理查德也就无需理睬。

另一种情况是，定义短语所描述的性质不为对应的数字所具有，这称作定义短语和对应排序数不一致的性质。如同上段偶数的定义，它所对应的数字7恰好就不具有偶数的性质。这正好是理查德怪论得以依赖的性质，我们将其称作“理查德性质”。数字7所具有的性质就是理查德性质的例子，由此，我们有理查德数的定义。

什么是“理查德数”？

以上的“对应排序数”和“理查德性质”的组合告诉了我们答案。

理查德数和理查德性质仿佛一类奇怪的组合，它至少涉及到数符，字符还有这两类符号意义这三者之间的关系。

如同一个符号的三角形，我们把三类符号置于三角形的三个顶点。当你用肯定否定的形式来描述这些符号的时候，理查德数和理查德性质就在这些肯否定关系之下浮现出来。

一个不那么严格的示意图表1

如果我们用x表示一个理查德数，则“理查德数”可以定义为：本身不具备与它在数字序列中对应的定义表达式所表达的性质。即：x本身不具备与它在数字序列中对应的定义表达式所表达的性质。

在偶数的定义中，该定义排序为数7，而这个7作为数字不具备偶数的性质，则数字7就是一个理查德数。而在素数的定义中，该定义排序为数13，这个13作为数字具备素数的性质，则数字13就是一个非理查德数。

由这个理查德数，很容易理解理查德性质。这里用得着逻辑的内涵与外延之区别，但这里的概念除了字符，还有可以替代字符的数。所以内涵和外延相关的不仅仅是概念，还有代表该概念的数。这里也许有元语言和对象语言的区别在，但限于篇幅，暂不讨论。

可以简单地说，一个理查德数是由它的属性来决定的，任意一个理查德数构成理查德数的外延成员。而理查德数的内涵，就是这类数字的属性，那就是我们对理查德数所下的定义。也就是，那个“本身不具备与它在数字序列中对应的定义表达式所表达的性质”，这个性质就是理查德性质。

所以，什么是理查德性质？一个数如果本身不具备与它在数字序列中对应的定义表达式所表达的性质，那就是理查德性质。

这两个概念的定义也可以换一个方式来表示，如果用理查德性质来陈述就是：

x属于理查德数，当且仅当x具有理查德性质。

反过来也是一样，如果用理查德数来陈述就是：

x具有理查德性质当且仅当x属于理查德数。

现在我们就可以说，假定我们有一个对应定义的排序数m，m并不具有它所对应的那个定义所表达的性质，也就是具有理查德性质，这时，这个数字m显然就是理查德数。例如我们在前面给出的偶数定义，排序给出的数是7，7却并不具备偶数的性质。我们既然给理查德数有了这样的定义，那我们现在问：“理查德数”本身就是一个定义，如果它对应的数字是n，数字n是否是理查德数呢？且让我们依据理查德数定义来回答这个问题。

依据理查德数的定义，如果n是理查德数，那么n一定不具有理查德数的理查德性质。

这是从肯定的角度，如果是从否定的角度，结果似乎十分相仿。

依据理查德数的定义，如果n不是理查德数，那么n一定具有理查德数的理查德性质。

这就是著名的理查德悖论，这类悖论富含兴味，数学包括逻辑为这些悖论所折磨，而数学之所以能够作为一切科学之源，很大程度上，是它总能够找到消解这些悖论的方法，并能从悖论中获取新的生长力。

就理查德悖论而言，它对其后的哥德尔不完全性定理证明，提供了用数字来给抽象对象排序的思路。不仅仅是用数字给字符串排序，这个思路在理查德那里，还产生所谓的G数，一个不具有某个性质的数。用内格尔的分析：

在某种程度上，G是模仿理查德悖论构造的。在理查德悖论中，表述“理查德性质”是和某一数n相联系的，从而构造出“n是理查德数”这样的命题。在哥德尔的论证中，公式G同样地和某一数g——即它本身的哥德尔数——相联系，并且G是这样构造出来的，其意思是说“具有哥德尔数g的公式是不可证明的”。

（内格尔《哥德尔证明》中文版第72页）

内格尔的这段引言，也就告诉了我们，G数是什么。哥德尔文本中的G数，在语言结构上就是类似于理查德数或者理查德性质的东西。

现在我们回到哥德尔文本的导言中来，看看理查德的这个G数如何在哥德尔文本中得到运用。由以上描述可知，每个自然数0、1、2等等，都可能是某个字符串的G数；并且，在自然数和字符串之间，将是一个递归的，一一对应关系。因此，关于所有数字的算术陈述可以解释为关于所有字符串的元数学陈述。在哥德尔定义序列6-46中，根据算术的哥德尔数方法定义了对应于元数学概念的算术概念。但是，他定义的目的是要确定所有相关的算术概念（除Bew之外）都是递归的，因此，所有对应的元数学概念也都是递归的。因此，关于它们的任何命题都可以在P中用公式来表达，依据命题为真或者为假，所以公式就是“可证”或“不可证”。

一旦证明了这一点，在哥德尔的论证中，他就无需进一步使用其特殊算术化方法的“不可证”定理。这样，全部需要做的就是，为每个字符串指派一个唯一的数字。而这就是在使用G数，而不是相应的哥德尔数在进行论证。这种使用G数的方法，被导言作者R.B.B称之为“修正的算术化”。

三、R.B.B的“修正的算术化”

（一）修正算术化符号的简略说明

为便于与哥德尔文本进行比较，R.B.B修正的算术化也将使用哥德尔符号，这里将所用符号稍加描述如下。

1单个小写斜体字母代表数字：例如x，y, z....等等，代表任意一个数字。

2使用同样的字母，但用粗体标识，去代表那些可用G数（G-number)表示的字符串。因此，粗体x将是G数为x的字符串。

3 Z（x）表示哥德尔形式系统P中，表达数字x的数符号的哥德尔数。

4 置于x‘f’之前的那个数字符号为“ 0”，例如，表示3的数字符号是’fff0‘。R.B.B将这些数符号称为’数的’numerals，因为这个numerals不大好翻译，直接用这个英文表示。表示为x的G数的numeral，写为Gx（或者，如果x是复杂表达式，则为G [x]）。所以Gx，为x的G-numeral。由于每个数字都是一个G数，因此每一个numeral都是一个G-numeral。并且，numerals的“ 0”，“ƒ0”，“ ff 0”等的类成员与字符串的类成员（当然包括作为子类的numeral类）之间，存在一种递归一一对应关系。

5类符号将以a（v）的形式书写，二元关系符号以b（v，w）的形式书写，其中的v或v，w是相关的于第一种类型的自由变元，已在前文明确提及过。但是a（v）和b（v，w）的G-numerals，将缩写为Ga和Gb。

6哥德尔的形式系统P，其“个体”是自然数，所以，对v和w的替换值将始终为数的numeral，因此始终为G-numerals。在b（v，w）中，用Gx替换v，用Gy替换w的结果将写为b（Gx，Gy）。

哥德尔使用印刷上较不方便的符号进行替换。在将这个版本与他的文字进行比较时，应该记住，17是v的哥德尔数，19是w的哥德尔数。

现在可以将简化的命题六重新表述为：

如果形式系统P满足“一致性”的特定条件，那么在P中至少有一个递归类符号r（v）使得既不是v Gen r（v）在P中”可证”，也不是Neg [v Gen r（v）]在P中“可证”。

用更为直白但不那么严格的语言表述，后面的两个可证否定指的是，变元v相关于r的普遍化是不可证的，变元v相关于r普遍化的否定也是不可证的。

现在，可以遵照哥德尔文本52-54页论证中的主要步骤，从（8.1）起步前行了。

（二）R.B.B给出简化证明的第一阶段：从可证到不可证

将Q'（x，y（u））定义为Not [x B y（Gy）]，即x不是以下公式的一个证明。该公式是这样获得的，它通过替换在类符号y（u）中的变元，将其表示为类符号本身的G-numeral Gy而获得的公式。

设Q（x，y）是x的G数和y的G数之间的关系，通过修正的算术化，它等价于Q’（x，y（u））。 Q（x，y）是递归的；因此它从哥德尔命题V导出：存在一个递归关系符号q（v，w），这个命题使得

图2

作为x的G数和y的G数之间关系的公式Q（x，y），如果使用元语言的陈述，所谓x的G数，还有y的G数，似乎可以这样陈述，先来说明那个普通小写斜体字变元x。

有某一个数x，它本身是对应某个字符串的哥德尔数。如果这个对应的字符串是一个公式，公式就有一个可证不可证的问题。这时候，x的G数出现了，这表明，具有哥德尔数x的字符串公式是不可证的。

另一个变元y自然是同样的元语言陈述，具有哥德尔数y的字符串公式是不可证的。

那么，粗体的[q(Gx,Gy)]该如何理解呢？依据约定，粗体字符代表其数为G数的字符串。这个公式的一串粗体表述的是Gx与Gy的关系q。所以，就出现两种关系的蕴涵式，一个是关系项肯定的蕴涵式，一个是关系项否定的蕴涵式。这两个蕴涵式因为存在一个递归关系符号q（v，w），就使得都成为可证的。

Q’（x，y（b））等价于Q（x，y）；所以，

图3

因此，关系符号q（v，w）可以看作是表达了下述关系的一个公式，

当x不是y（Gy）的“证明”时，x必得为y（u）。

考虑相对于自由变元v的关系符号q（v，w）的“普遍化”，得到公式v Gen b（v，w）。

它有一个自由变元，即w，因此它是一个类符号。称它为p（w）。这也许可以看作为是指谓了这样的一个类，一个类符号y(u)是其成员，当且仅当，任意东西都不是y（Gy）的“证明”，

即，当且仅当y（Gy）“不可证”。

（二）命题六证明的关键阶段

接下来考虑在Gp的同样关系符号q（v，w）中替换自由变元w，得出公式q（v，Gp）。

它也有一个自由变元v，所以它也是一个类符号。称它为r（v）。它可能被认为是指谓了这样的一个类，一个字符串类，一个不是p（Gp）证明的字符串类。根据修改的算术化，由于也可以认为它指谓这些字符串的G数类，它是一个递归的算术类，因此r（v）是一个递归的类符号。

现在考虑这个类符号r（v）的“普遍化”，即q（v，Gp）的“普遍化”，相关于其自由变元v来考虑。这个自由变元v产生了公式v Gen r（v）。它没有自由变元，可以被认为是表达了这样一类命题：任意东西都不是p（Gp）的“证明”，即p（Gp）“不可证”。

但是，这里正是论证之关键所在，v Gen r（v）与p（Gp）相同。因为我们到达前者的方法是先用Gp替换q（v，w）中的w，得到r（v），然后相关于v进行“普遍化”，这样就得到v Gen r（v）。但是，由于替换和“普遍化”涉及到了不同的自由变元，因此，如果以相反的顺序执行两个操作，则它们会产生相同的最终结果，即首先相关于v对 q（v，w）进行“普遍化”，这产生p（w），然后用Gp替换p（w）中的w，这产生p（Gp）。如果将公式v Gen r（v）或p（Gp）中的任何一个扩展为摆脱缩写r和p，我们将得到一个相同的公式

v Gen q（v，G [v Gen q（v，w ）]）。

这个公式，当然还有它的每个缩写，都可以被认为表达了这样一个命题：公式本身“不可证”，即该公式表达了自己的“不可证性”。

R.B.B有时引用的哥德尔公式，称作为“ 17 Gen r”，它是对元数学公式“ v Gen r（v）”的修正算术化，但是使用17时，变元v的哥德尔数代替了v的G数。 由于元数学公式用何种方式书写并不重要，因此在接下来的几页中，将使用最短形式，即p（Gp）。

（三）命题六证明的最后阶段：

现在到了证明的最后阶段。我们返回到定义为Not [x B y（Gy）]的Q′（x，y（u）），即表示这样的元数学命题：x不是y（Gy）的“证明”。如果我们将类符号y（u）设为p（u），与p（w）相同，则由于u和w是变元，我们得到Q'（x ，p（u））的真或者假的结论，即Not [x B p（Gp）]的真或者假：

图4

公式q(Gx,Gp)与公式r(Gx)相同（它对应于命题六证明中的（15）公式右侧方括弧中哥德尔的表达式）。

现在假设p（Gp）“可证”，那么就会有一个“证明模式” n，使得n B p（Gp）成立，并因此使得Neg q（Gn，Gp）成立，即Neg r（Gn）也会是“可证”。但是如果p（Gp），也就是v Gen r（v）“可证”，由此而有r（Gn）可证。

因此，假设p（Gp）“可证”，则得出r（Gn）和Neg r（Gn）皆“可证”。如果一形式系统（演算）不包含一对形式为f，Neg f的“可证”公式，则称其为“一致”。然后，如果p（Gp）为“可证”，则形式系统P为“不一致”；因此，如果P为“一致”，则在P中，p（Gp）为“不可证”。

假设P为“一致”，并且Neg p（Gp）为“可证”。由于p（Gp）是“不可证”，所以并非[n B p（Gp）]对于每个字符串n成立。所以q(Gn,Gp),也就是r(Gn)对于任意字符串n可证。因此，对于每个numeral的m，r（m）“可证”。但是Neg p（Gp）与Neg [v Gen r（v）]相同；并且，如果这也“可证”，则奇怪的情况会产生在“可证”类符号r（v）的每个替换特例r（m）中，而r（v）相关于v的“普遍化”是“不可证”的。然而，这种情况与P的“一致性”相容：为了阻止其发生，必须假定由哥德尔称为“ѡ-consistency”的更强的一致性形式在P中成立。

命题六的证明，最后归结到“系统”的ѡ-consistency一致性概念。这个命题六证明的思路还在朦胧之中，还需进一步揣摩。不过，我得跟随导言作者的思路，从命题六的证明走向对于一致性的理解了。这个一致性，且待下篇分解。