最近阅读了马里奥·利维奥的《最后的数学问题》，作者通过“数学无理由的有效性”这一主题，串起了从阿基米德到希尔伯特，从古希腊到近现代的数学故事，立意清晰内容丰富，是本爱不释手的科普书。但对于作者的“和稀泥”式的答案不太满意，所以来小谈一下自己对这个问题的理解和看法。

1、数学的无理由有效性

        为什么数学对于描述自然现象、解决各种问题总是很有效？并且精确程度总是让人难以置信？为什么看似独立发展的数学分支有一天被发现与大自然的某些现象完全一致？这些问题是数学发展过程中萦绕在其上空的一朵乌云，无数人为之困惑，并总能让我们发出这样的感慨“上帝是个数学家？”。

2、数学是被发现的还是发明的？

        如果“上帝是个数学家”，那么我们便能回答“数学的无理由有效性”这个问题了，因为这是造物主的选择、大自然的法则。他用数学语言描绘了万物法则，而我们又通过观察，分析理解了部分的内容，这当然是有效的。因此数学的研究过程本质上就是一个发现的过程，这也是很多人所相信的。

        理解“数学是发现的”是件容易的事儿。“自然数”的发明和使用源于计量的需求，即使不发明阿拉伯数字1、2、3，同样也能使用一、二、三或罗马字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ表示，数的关系就在那里，而我们做的就是找到一种表示的方法并寻找规律。第二个示例关于几何，这是从自然中抽象出来的关于点、线、面间的问题，自然中并不存在几何学上的完美直线和平面，但这并不影响该学问在现实中的广泛影响。这也是我们的另一种发现过程。

        如果说自然数和几何是我们的发现过程，那关于复数的出现就很难理解是一种发现过程。除此之外，关于质数和黄金分割比例的人为挑选和定义问题、关于选择不同基本公理造成完全不同的欧式几何、黎曼几何等问题，从这一角度，还是让我们感到困惑，为什么很多的数学内容看起来都是创造出来的？

3、作者的答案

        “数学概念是发明的、数学规律是发现的”。这个作者给出的答案看起来合理，但实际上等于什么也没说。数学概念当然是发明出来的，上帝又不会说话、写字。数学规律在基本公理和关系被确定之后，也就确定了，剩下的就是推理和计算的过程。作者应当想说的是大自然规律是发现的，而这也应当分为数学规律和物理规律两类来讨论。至少在使用数学方法验证物理猜想之前，数学规律并不囊括全部。这也是物理规律并不那么精确且经常被扬弃的原因。

4、我的答案

        我以为，“数学是被发明的”，而答案就蕴含在哥德尔的不完备定理中。相比生物、化学、物理等内容，数学之所以能成为更基层的学问，并非因为艰深的理论和繁杂的逻辑推导，而是因为数学是自洽的，不依赖外部的，更完备的体系。数学建立在基本公理之上经过严密逻辑推导所得，这在欧几里得的《几何原本》中有充分的体现。

        哥德尔发现，包含初等算数的数学系统的一致性不能在系统内部证明。因此选用数学语言了解和表述自然规律，是无法从内部发现矛盾并证明错误的。在解释了数学是发明的之后，对于数学能够准确的描述大自然还是让人费解的一件事。这就要引出一些新的想法，（1)所有自洽的不完备体系都是可以相互描述的，（2)数学和万物的法则都是自洽的。

5、管中窥豹——可以相互描述的体系

        将数论、代数、几何、群论等统称为数学是件容易引起困惑的事情，它们的基本公理和表述内容是差异巨大的，事实上也就是不同的体系。从笛卡尔通过代数方法求解几何问题，再到伽罗瓦通过群论求解代数方程问题，不一不表明了不同体系间的相互描述关系。从这一方面可以理解以上的第一点。但为什么万物的法则也是这种体系却仍是不得而知。所以，我们的新疑问可能是“上帝是个逻辑学家吗？”