许多工程技术中的实际动力学问题要用微分方程描述。其中的线性常微分方程十分常见。只要涉及的变量足够微小，忽略其二阶以上的项次，动力学方程就被线性化，成为原方程的一次近似方程。常系数线性常微分方程是已研究很充分的微分方程，其处理方法已形成完整的体系。工程中的大量机械振动问题，当振动的幅度足够微小时，在线性常微分方程基础上建立的线性振动理论，被普遍应用于解决机械振动的实际问题。

工程技术中常需要对实际发生的运动作定性分析。所谓定性分析是不寻求对运动微分方程求解，而是根据微分方程本身的特征推断解的性质以判断运动性态的方法。定性分析方法主要研究系统可能发生的稳态运动，以及稳态运动在扰动作用下的稳定性。工程技术中的稳态运动往往是机械系统的正常工作状态，如平衡状态或周期运动状态。这种工作状态必须是稳定的，因为只有稳定的运动才是能实际维持的运动。判断稳态运动稳定性的理论即运动稳定性理论。它研究稳态运动在微小扰动作用下的运动性态。对于线性化的扰动方程，利用线性微分方程的特征值理论，就能利用指数函数特解 e^λt，根据特征值 λ 的性质判断稳态运动的稳定性。若特征值的实部均为负值，则未扰运动渐进稳定。若至少有一特征值的实部为正值，则未扰运动不稳定。若特征值的实部为零，则未扰运动稳定。用这种方法判断的线性化系统稳定性称为一次近似稳定性。

一次近似稳定性的判断方法是实践中经常使用的方法。但忽略了二次以上高阶项的线性系统与实际存在的原系统毕竟是两个不同的系统。基于线性化方程得到的稳定性结论，能否正确反映原系统的真实状况，是一个根本性的问题。尽管许多具体问题利用一次近似稳定性判断方法得出的结论与实际现象确能符合一致，但不能断言所有情况均能如此。

举一个简单的二自由度系统为例：

                                                                                                                           (1)

为分析此方程的零解稳定性，将方程中的非线性项略去，得到一次近似方程。利用指数函数特解 e^λt 导出其特征方程：

                                                                                                                (2)

解出的特征值是一对纯虚根：

                                                                                                                      (3)

利用上述一次近似系统的稳定性判据，其零解稳定。

在博文 “运动稳定性理论的里雅普诺夫直接方法浅释” 里叙述了判断稳定性的李雅普诺夫直接方法。若保留方程 (1) 的非线性项，用李雅普诺夫直接方法判断此非线性系统的零解稳定性。可选择正定的李雅普诺夫函数：

                                                                                               (4)

计算 V  沿方程 (1) 的解曲线的全导数，得到

                                                                            (5)

根据李雅普诺夫定理，零解的稳定性对不同的参数 a 有不同的结论：当 a < 0 时，dV/dt 为负定，原方程的零解为渐近稳定。当 a = 0 时，dV/dt 恒等于零，零解稳定。当 a > 0 时，dV/dt 为正定，零解不稳定。可见一次近似稳定性的分析不能解释原方程稳定性的多种可能性。

   由此例题可看出，尽管被忽略的非线性项是二次以上微量，有时却能对系统的稳定性产生深刻影响。于是出现一个亟待解决的问题：利用特征根的性质判断线性系统的稳定性，在何种条件下得出的结论也适用于非线性的原系统，在何种条件下则不适用？李雅普诺夫对此问题作了明确的回答（图1）。

图1   李雅普诺夫（A.M.Lyapunov 1857-1918）

李雅普诺夫证明了以下三个定理：

定理一：若一次近似方程的所有特征值实部均为负，则原方程的零解渐近稳定。

定理二：若一次近似方程至少有一特征值实部为正，则原方程的零解不稳定。

定理三：若一次近似方程仅存在零实部的特征值，则不能判断原方程的零解稳定性。

  其中的定理一和定理二与线性系统的零解渐近稳定和不稳定的条件完全一致，因此可直接根据一次近似系统来判断原系统的零解稳定性。定理三是介于前两种情况之间的临界情形，虽满足线性系统的零解稳定性条件，但不能判断原系统的零解稳定性。因为临界情形下原方程的零解稳定性在很大程度上取决于所略去的高次项。

简而言之，对线性系统判断为渐近稳定或不稳定，原系统亦为渐近稳定或不稳定。而对线性系统判断为稳定，原系统的稳定性不能确定。

李雅普诺夫的一次近似稳定性理论的贡献在于，为线性化系统稳定性结论的有效性提供了理论依据，只有临界情形除外。但在工程实践中，关于临界情形的结论并未被严格遵守。将临界情形线性系统得出的稳定性结论推断原系统稳定性的做法仍十分普遍。由于缺乏理论根据，其正确性存疑，只能依据实际观测来证实。实际上，任何工程问题的数学表达均存各种各样被省略的因素，即使在理论上证明合理，仍带有一定程度的近似性，都需要经受实践的检验。只有实践才是检验真理的唯一标准，无一例外。

上述定理是李雅普诺夫于 1892 年发表的博士论文《运动稳定性的一般问题》中提出的。将非线性系统在平衡状态附近线性化，利用特征值的性质判断一次近似系统的稳定性，以及依据一次近似系统稳定性判断原系统稳定性的方法，文献中也称为李雅普诺夫第一方法。而利用李雅普诺夫函数判断稳定性的直接方法称为李雅普诺夫第二方法。

李雅普诺夫关于一次近似稳定性的结论简明扼要，但证明过程繁琐冗长。其思路是先利用李雅普诺夫直接方法证明一次近似系统的渐近稳定和不稳定条件。然后证明所使用的李雅普诺夫函数同样适用于增加非线性项的原系统。只有特征根实部为零的情形除外。证明的全过程在待出版的《非线性振动（第二版）》中作为附录四列出。现将其附在文后，供有兴趣的读者参阅。

参考文献

[1]  刘延柱. 高等动力学(第二版). 北京：高等教育出版社，2016

[2]  刘延柱，陈立群. 非线性振动. 北京：高等教育出版社，2001

附录四　李雅普诺夫一次近似理论的证明

   （摘自《非线性振动（第二版）》，高等教育出版社，待出版）