1     引言

有摩擦存在的斜碰撞现象在生活中十分常见。以乒乓球运动为例，选手的每一板抽杀都是摩擦斜碰撞。在工程技术里摩擦斜碰撞也经常发生。摩擦和碰撞均属经典力学范畴，但综合这两种概念的摩擦斜碰撞问题却是一个尚未解决的理论难题。

理工科专业的理论力学课程中，一般仅将刚性球的正碰撞列入教学内容。碰撞中的物体被简化为带有局部变形的准刚体。物体从相互接触到分离的碰撞过程中，所产生的冲量使法向相对速度改变。但基于动力学原理列写的动力学方程少于未知变量数，无法确定碰撞冲量和碰撞后的速度。要使方程组封闭有解，必须增加与碰撞物体的物理性质有关的补充条件。Newton (1686) 最早提出将碰撞前后的法向速度之比定义为恢复因数 e，是介于 0 与 1 之间的物理参数，作为动力学方程的补充条件使方程有解。Poisson (1817) 将恢复因数 e 定义为恢复阶段与压缩阶段的法向冲量之比。利用动量定理可以证明这两种定义完全等同。

至于物体的斜碰撞，教材中一般只提及接触点无摩擦的理想约束情形^[1]。至于有摩擦的斜碰撞，则必须再增加与切向冲量有关的物理条件。Whittaker (1904) 和 Routh (1905)^[2,3]提出，将适用于有限力的 Coulomb 摩擦定律扩大应用于碰撞情形，作为联系法向和切向冲量之间的物理条件（图1）。具体而言，认为切向冲量等于法向冲量乘以 Coulomb 动摩擦因数 f。切向冲量的方向规定为沿碰撞前切向滑动速度的逆向。

图1   E.T.Whittaker(1873-1956)

    这种貌似合理的假定长期以来被普遍接受。但在某些情况下，根据 Whittaker 假定可导致不合理的计算结果。1984 年美国 Stanford 大学的力学教授 Kane 首先提出了疑问。他在关于双摆末端与平面碰撞的算例中发现，利用Whittaker假定的计算结果可导致碰撞后双摆的总机械能大于碰撞前，明显与物理规律相悖^[4]。Kane 难题的出现使经典的碰撞问题重新引起关注。物体在极短暂的碰撞过程中的运动规律，以及如何更合理地确定切向冲量，成为新的研究课题。如 Keller (1986)，Brach (1989), Smith (1991) 等人的工作陆续见诸文献^[5~8]。本文以刚性小球对固定平面的斜碰撞为例，叙述 Kane 难题的提出，以及为解决此难题的对 Whittaker 假定的几种可能的修正方案。

2    Whittaker 假定举例

设质量为 m 半径为 r 的刚性小球以质心速度 v₀ 和角速度 ɷ₀ 沿与垂直轴的夹角 α 的方向与固定平面在P点处碰撞 (图 2)。碰撞前小球因角速度 ɷ₀ 在 P 点处产生的切向速度为 ɷ₀r。以 γ = ɷ₀r/v₀ 表示此切向速度与质心速度之比，γ 的正负号对应于不同的转动方向。小球的质心速度 v 在水平轴 x 和垂直轴 y 上的投影以及绕质心转动的角速度 ɷ 在碰撞前的值分别为

                                                                     (1)

文中以上标的负号或正号表示碰撞前或碰撞后的值。碰撞后法向速度改变方向，利用恢复因数 e 很容易算出碰撞后法向速度 v_y⁺ 的值：

                                                                                                                          (2)

设 F_y(t) 为法向碰撞力，t_c 为碰撞持续时间，法向碰撞冲量 I_y 为

                                                                                                                                            (3)

将式(1),(2)代入后，得到

                                                                                                     (4)

为判断切向碰撞冲量的方向，必须计算刚体在接触点P处的切向滑动速度 v_P：

                                                                                                                                               (5)

其中 r = OP。将式(1)代入后算出碰撞前的切向滑动速度 v_Px^- :

                                                                                                    (6)

根据 Whittaker 假定，切向冲量 I_x 等于法向冲量 I_y 乘以 Coulomb 动摩擦因数  f  与 v_Px^-  的方向相逆。

                                                   （7）

利用动量定理和对质心 O 的动量矩定理确定碰撞后的质心速度 v_x⁺ 和角速度 ɷ⁺，列出

                                                                                                                                  （8）

将小球的中心转动惯量 J = 2mr²/5 代入，得到

                                                                                                (9)

其中的正负号取决于碰撞前滑动速度 v_Px^- 的方向。如滑动速度与质心速度方向一致，v_Px^-  > 0，则碰撞后的滑动速度 v_Px⁺ 为

                                                                                 (10)

如碰撞过程中 v_Px⁺ 始终保持与碰撞前滑动速度 v_Px^- 方向一致，则切向冲量与质心速度相逆的方向不变。但如摩擦冲量足够强劲使得 v_Px⁺ 从正值变为负值，即以下条件满足时

                                                                                                           (11)

则碰撞后小球滑动速度 v_Px⁺ 与碰撞前的 v_Px^- 相反。碰撞后滑动速度 v_Px⁺ 等于零是一种特殊情况。若将动摩擦因数 f  改为静摩擦因数  f₀，v_Px⁺ 仍等于零，则小球在接触点保持无滑动状态。

还可能发生另一种情况，即小球在碰撞前强烈旋转，使滑动速度 v_Px^- 与质心速度 v_x^- 方向相反，这在乒乓球运动中是常见现象，即 γ < -sinα，v_Px^- < 0。则所产生的切向冲量与 v_Px^- 相反，却与质心速度方向一致，使小球朝原质心速度方向加速。上述因小球旋转改变运动状态影响碰撞过程的各种情况均无法在 Whittaker 假定中得到反映。

图2  小球与固定平面碰撞

3        Kane难题

      1984 年 Kane 和 Levinson 在其动力学著作中利用 Whittaker 假定计算了双摆末端与平面碰撞的算例^[4]。计算中发现，对于某些参数组合得出碰撞后总机械能增加的不合理结果。上述小球碰撞问题的算例也存在同样现象。列出碰撞前后小球的动能 T^- 和 T⁺：

                             (12)

将式(1),(2),(9)代入上式，将 ΔT =  T⁺ - T^- 与平动动能 T₀ = mv₀²/2 之比表示碰撞后小球的能量变化，导出

                                             (13)

动能增量 ΔT/T₀ 的正负号与 α, e, f, γ 等参数有关，也与 v_Px^- 与 v_x^- 方向一致或相反有关。设 α = 30⁰,  e = 0.7, f = 0.4，先考虑 v_Px^- 与 v_x^- 方向一致情形，上式最后一项取负号，导出

                                                                                                                  (14)

再讨论 v_Px^- 与 v_x^-  方向相反情形，式 (13) 的最后一项取正号，导出

                                                                                                                 (15)

因此碰撞后小球能量可能减少，也可能增加，取决于包括刚体碰撞前角速度在内的参数组合。以碰撞前的平动刚体为例，令 γ = 0，算出 v_x⁺ = - 0.089 v₀，v_y⁺ = 0.606 v₀，ɷ⁺ = - 1.47 v₀/r，ΔT/T₀ = 0.23 > 0，即平动刚体碰撞后的能量增大。此结果明显与物理规律相悖。

4        解决难题的探索

Kane 难题的产生暴露出 Whittaker 假定的缺陷。仅依据刚体在碰撞前后法向速度的变化，直接利用 Coulomb 定律计算切向碰撞冲量，这种简单的计算方法未顾及碰撞前后刚体的总体运动状态。刚体碰撞前的滑动速度由质心速度和绕质心的角速度合成。碰撞过程中切向冲量的作用结果不仅改变刚体质心的速度，也同时改变刚体的角速度。对于质心速度和角速度的不同组合，尤其对于碰撞前刚体因转动产生的切向速度与质心速度方向相反的情形。如合成的滑动速度 v_P 与质心速度 v 方向一致，则切向冲量使质心运动减速，同时使转动加速。反之，如 v_P 与 v 方向相反，则切向冲量使质心运动加速，同时使转动减速。碰撞后的动能增量 ΔT 由平动动能增量 ΔT₁ 和转动动能增量 ΔT₂ 组成。平动动能减小但转动动能增大，总能量就有可能增大。正是产生 Kane难题的根本原因。

Whittaker 假定的物理基础基于动摩擦概念，即切向冲量等于法向冲量乘以 Coulomb 动摩擦因数 f，与接触点滑动速度相逆。笔者认为，由于碰撞过程极其短暂，物体在碰撞过程中的相对位移为零，物体的切向运动实际上更接近相对静止状态。物体之间的摩擦规律也更接近于静摩擦。如碰撞过程中发生滑动速度为零的时刻，将法向冲量与 Coulomb 静摩擦因数 f_s 的乘积作为最大静摩擦冲量。则切向冲量在最大静摩擦冲量的限制下为不定值，而无滑动状态可继续维持。这种假定似比 Whittaker 假定更为合理。

如上所述，Whittaker 假定存在根本缺陷。切向碰撞冲量不能仅由法向冲量和摩擦系数确定，而应考虑刚体碰撞前后总体运动状态的综合影响。附录中给出修改 Whittaker 假定的几种方案，文献中还有更复杂的方案被提出。但任何方案均为某种假定，要使方案被接受，至少应该避免出现机械能增加的 Kane 难题。其中的 Smith 方案可使 Kane 算例的机械能增量为负值，但也不能保证在其它情况下避免机械能增大。由此可见，作为经典力学组成部分的碰撞问题仍是一个未能完全解决的难题，对于摩擦斜碰撞问题的认识还有待继续探索和研究。

参考文献

[1]     刘延柱，朱本华，杨海兴. 理论力学(第三版). 北京. 高等教育出版社，2009

[2]     Whittaker E T. A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies. Cambridge. Cambridge University Press,1904

[3]     Routh E J. Dynamics of a system of rigid bodies. London, Macmillan, 1905

[4]     Kane T R, Levinson D A. Dynamics, theory and applications. New York. McGraw-Hill, 1985 （中译本： T.R.凯恩，D.A.列文松著. 贾书惠，薛克宗译. 动力学理论与应用．北京. 清华大学出版社，1988）

[5]     Keller J B. Impact with friction. ASME, J. Applied Mechanics, 1986, 53: 1~4

[6]     Smith C E. Predicting rebounds using rigid-body dynamics. ASME, J. Applied Mechanics, 1991, 58: 754~758

      （改写自：刘延柱. 关于摩擦碰撞的 Kane 难题. 力学与实践，2012，34(1): 91-94

                       刘延柱. 再论 Kane 难题. 力学与实践，2013，35(3): 77-79）