小小竹排在幽静的水面上飘浮。站立在竹排上撑篙的梢工重心高高在上，如同一只倒立的复摆。微风吹过，竹排微微晃动却能稳定不倒（图 1）。

图 1  竹排

船体较窄吃水较深的船舶下水后船体的重心往往低于浮心，这种船体如同一只以浮心为支点的复摆。当船体向一侧倾斜时，重力 mg 与浮力 F 构成与倾斜方向相逆的力偶使船体恢复原位（图 2）。

              图2   重心低于浮心的船舶

但在实际生活中，重心高于浮心的物体浮在水面上稳定不倒的现象十分常见。例如上面提到的竹排和类似竹排的皮艇和划艇（图 3）。就是公园里荡漾的小船重心也比浮心要高。曾周游世界的著名大黄鸭是一个更极端的例子（图  4）。这个数层楼高的庞然大物平静地躺在湖面上，与竹排比较，虽然重心比浮心更高却比竹排更加稳定。

图 3   划艇

图 4   大黄鸭

这类船舶或浮体的特点是与水的接触面积很大，吃水深度很小。当浮体倾斜时，倾斜一侧的浸没范围增大，另一侧的浸没范围减小。一侧增大一侧减小的浮力形成附加力偶推动浮体恢复原位。以到过中国的大黄鸭为例，这个巨大浮体的尺寸为 14×15×16.5 m³，体积估计在 3000 m³ 左右。充满空气的重量，加上橡皮膜和鼓风机的重量超过 3 吨。与水接触的底面积约为 200 m²。大致估算，仅 1.5 cm 的浸没深度所产生的浮力已足够与 3 吨重力抗衡。虽然重心比浮心高了许多，但只要倾斜引起浮力的恢复力矩大于重力的倾覆力矩，大黄鸭就能稳定不倒。

为更深入了解上述现象，将竹排简化成宽度 a，厚度 b，长度 l 的均质矩形薄板，设竹排包括承载的梢工和货物的总重量为 mg，水的比重为 γ，浸没深度为 c。无倾斜时竹排的浮力为 F = γlca，令其与 mg 相等，导出的 c = mg/γla 必须小于竹排的厚度 b 才能避免下沉。设竹排与负载的总重量为 mg = 200 kg，宽度a = 1 m，长度  l = 2.5 m，水的比重 γ = 10³ kg/m³，算出 c = 8 cm，竹排的厚度只要不低于此下限，浮力就已足够。

以重心 O_c 为原点，建立竹排的连体坐标系 (O_c-xyz)，O_cx 和 O_cy 沿纵向和侧向，O_cz 垂直竹排平面。无倾斜时竹排在水中浸没体积的几何中心为浮心 O，设重心 O_c 高于浮心 O，距 O 点的高度为 h。当竹排绕 O_cx 轴向一侧倾斜 θ 角时，由于倾斜一侧的浸没体积增大，浮力产生增量 γla²θ/4，另一侧产生相等的负增量。两侧浮力增量的作用点距离为 2a/3，构成与转动方向相逆的力偶 M = γla³θ/6，成为抗衡重力倾覆力矩mghθ 的恢复力矩（图 4）。忽略水的阻尼力矩，设竹排相对 O_cx 轴的转动惯量为 J，列出竹排绕 O_cx 轴转动的动力学方程：

                                                                                    （1）

竹排的稳定性即微分方程的特解 θ = 0 的稳定性。要求微分方程的特征值为纯虚数，此条件仅当方程中所有系数均为正值时方可能实现。从而得出竹排的稳定性条件：

                                                                                                                                     （2）

对于重心低于浮心的船体，h 为负值，则任何情况下此稳定性条件都能满足。表明这种船体必能自行稳定。而重心高于浮心时，仅当船体与水接触面积的尺度 a 和 l 足够大时才可能满足。以竹排为例，设重心高度为 h = 1.5 m，将其与 a = 1 m 代入条件 (2)，结果表明仅当竹排长度 l > 1.8 m 时方能保证稳定。再以大黄鸭为例，令 mg = 3000 kg，h = 10 m，l = 15 m，a = 14 m，算出 γla³/6 ≈ 7×10⁶ kg-m，远大于mgh ≈ 3×10⁴ kg-m，稳定性条件自然满足。

由此可见，重心高于浮心的竹排并非倒摆。如仍将竹排比喻成复摆，不能再将浮心 O 当作复摆的支点。真正的复摆支点应该是浮力合力的作用线与 O_cz 轴的交点。船体正位时 O_cz 轴与垂直向上的浮力作用线一致。船体倾斜时，O_cz 轴也随同倾斜，浮心 O 朝倾斜方向移至 Oˊ，浮力作用线随之平移，与 O_cz 轴的交点 O_s 就是看不见的复摆支点（图 5）。在船舶稳定性理论中，O_s 称为船的稳心 (metacenter)。稳心 O_s 至重心 O_c 的距离 h_s 称为稳心高度。稳心高于重心时 h_s 为正值，船舶稳定；稳心低于重心时 h_s  为负值，船舶不稳定。稳心高度 h_s  愈大，船体的稳定性就愈好。

在图 5中，船体正位时的矩形浸没范围在倾斜 θ 角后变成梯形。二者的面积相等，浮力的大小不变但作用线的位置不同。设倾斜时竹排浮心对 O 点的偏移，即浮力的力臂为 OˊO = aˊ。θ 角为小量时，将力偶M = γla³θ/6 与浮力 F = γlca 相除，估算出
    

                                                                                                （3）

从而推断稳心 O_s 与 O 点的距离为 a²/6c。稳心 O_s 与重心 O_c 的距离，即稳心高度为 h_s = (a²/6c)-h（图5）。利用上述数据算出竹排的稳心高度约为 h_s = 0.6 m。而大黄鸭的稳心高度竟高达 200 m 以上。于是竹排与大黄鸭在稳定程度上的悬殊差异就有了定量的依据。

图 5   稳心与浮心

以上分析表明，高重心的船体倾斜时，因两侧浸没范围的变化使浮力的作用线向倾斜方向偏移，使稳心升高超过浮心，浮力产生相对稳心的恢复力矩，使船体绕稳心转动回至原位。2014 年曾发生韩国 “岁月” 号客轮的沉船事件。据分析，沉没的原因是客轮快速转向产生的惯性力使舱内货物向倾斜方向移位造成船体失衡。利用稳心概念分析，当船舶因风浪向一侧倾斜时，只要稳心 O_s 仍高于船的重心 O_c，浮力就能使船复位。但由于货物突然移位使重心也向倾斜方向移至 O_cˊ，O_cz 轴随之平移至 O_cˊz 轴，导致与浮力作用线的交点 O_sˊ 下降。当稳心 O_sˊ 下降至重心 O_cˊ 以下时，恢复力矩变为倾覆力矩，船体即倾覆下沉（图 6）。

图 6   重心移动产生的稳心变化

由此可见，稳心高度是判断船舶稳定性的重要定量指标。集装箱船在装满货物时很难做到重心低于浮心。但凭借正确的船型设计，能使稳心高度满足规范要求以保证船舶航行的稳定性。

                （修改于：刘延柱. 竹排、大黄鸭与船舶稳定性. 力学与实践，2014, 37(3): 371-373）