快速旋转且旋转轴在空间中可改变方向的物体称为陀螺。陀螺的运动有两种基本属性：定轴性和进动性。无力矩作用时陀螺的旋转轴保持空间中的方位不变，称为定轴性。有力矩作用时转动轴在空间中缓慢转动，其端点的运动方向与力矩矢量一致，称为进动性。在博文“抖空竹与欧拉方程”里已有过详细的解释。

将一个由转子和框架组成的陀螺抓在手里转动手腕，可从手心感觉到转子对运动的激烈反抗(图 1)。这种现象的出现来自陀螺的进动性。为使陀螺的转动轴在空间中改变方位，必须由外界施加力矩方能实现。陀螺对施力物体会产生反作用力矩，作用于施加力矩的物体。后者所感受到的力矩就称为陀螺力矩 (gyroscopic torque)。因此陀螺力矩也可视为陀螺进动性的一种表现形式。

                                 图1    感受陀螺力矩

将载体选作动参考坐标系。将动量矩定理以动坐标系为参考系，当坐标系以角速度 ω_R 转动时，惯性空间中的微分过程改为在动坐标系中进行，用相对导数表示为

其中 L 为物体的动量矩，M 为外力矩，带波浪号的导数符号表示相对导数，即相对动坐标系的求导过程。将上式中的第二项移至方程的右边，引入符号 M_g = - ω_R×L，改写为

其中 M_g 就是动坐标系中的观测者所感觉到的陀螺力矩。它的方向垂直于陀螺的动量矩矢量 L 和载体转动的角速度矢量 ω_R。将右手食指指向转子旋转轴，中指指向载体转动轴，则拇指的方向即为陀螺力矩的方向。物体在动坐标系中的相对运动由实际作用的力矩 M 和陀螺力矩 M_g 共同确定。

陀螺力矩是在转动的载体中观察到的力学现象。依据博文“科氏惯性力与振动陀螺”中的说明，当载体发生转动时，安装在载体中的转子的每个质点均有科氏惯性力产生。陀螺力矩实际上就是全部科氏惯性力对转子质心的合力矩。相关的数学证明在附录中给出。

  高速旋转机械的设计制造必须考虑陀螺力矩的存在。以大型船舶为例，当船只改变航向时，螺旋桨驱动轴上产生的陀螺力矩可引起轴承上的附加动载荷。单螺旋桨飞机改变航向时，螺旋桨的陀螺力矩可迫使飞机抬头或点头。对于双螺旋桨飞机，令两个螺旋桨朝相反方向转动，可使陀螺力矩相互抵消。同样道理，鱼雷尾部并列的两个螺旋桨的转动方向也必须相反。即使是安装在固定基座上的旋转机械，当旋转轴的弹性变形使转子的极轴产生偏转，导致动量矩矢量 L 和旋转轴的角速度不共线时，也会产生陀螺力矩引起附加动载荷。

      除上述负面效应以外，陀螺力矩也能为人类所利用。农村里最常见的石碾子就是陀螺力矩最古老的应用范例（图 2）。设石碾子半径为 R，与碾盘的接触线中点处无相对滑动，该点距转轴的距离为 l，当碾子绕垂直的转轴以 Ω 为角速度转动时，碾子的自转角速度为 ω = (l/R) Ω。设碾子的质量为 m，极惯性矩为 J = mR²/2。令ω_R = Ω，所产生的陀螺力矩为 M_g = JωΩ = mRlΩ²/2，在中点处对碾盘作用附加压力 F_g= mRΩ²/2，从而提高了碾子的滚压效率。此附加压力与转速 Ω 的平方成正比。农村的手推石碾因转速缓慢影响不显著，但对高速旋转的工业研磨机器，陀螺力矩产生的动压力远大于静压力。

                                图2   石 碾子的陀螺力矩

博文 “科氏惯性力与振动陀螺” 中曾说明，科氏惯性力可用于量测载体的角速度。则科氏惯性力产生的陀螺力矩应也能用于载体角速度的量测。例如将一个由转子和框架组成的陀螺仪安装在载体上，设框架的转轴为 x轴，转子动量矩 L  沿 z 轴（图 3）。当载体绕 y 轴以角速度 ω_R 转动时，产生绕 x 轴的陀螺力矩  M_g = ω_RL  使框架绕 x 轴转动，设转角为 α。若在框架和载体之间增加弹簧，使框架的转动引起弹簧变形。当陀螺力矩 M_g 与弹簧力矩 M_s = kα 平衡时，框架在载体内相对静止，框架转角 α = (L/k)ω_R 与载体的转动角速度成正比。这种可量测载体角速度的仪器称为速率陀螺仪 (rate gyroscope)。若将弹簧换成阻尼器，阻尼力矩 M_d = c(dα/dt) 与框架转动的角速度成正比，c 为阻尼系数。则 dα/dt = (L/c)ω_R，框架转角 α 必与载体角速度 ω_R 的积分，即载体转过的角度成正比。这种可以量测载体转角的陀螺仪称为积分陀螺仪 (integrating gyroscope)。

图3  速率陀螺仪

此外，在大型船舶中安装巨大的转子，利用陀螺力矩抑制在风浪中的摇摆。利用陀螺力矩实现能直立稳定的单轨火车。在人造卫星中安装受控制的飞轮，利用陀螺力矩控制卫星的姿态等。在博文 “单轨火车与陀螺稳定性” 中已有过详细的叙述。

上述各种情况表明，对于带旋转部件的载体，利用陀螺力矩概念分析其动力学特性，可对于载体的稳定性做出定性的结论。以美国设计制造的 “倾斜旋翼机” 为例。这个以 “鱼鹰”（Osprey）命名的运输机是在固定机翼的两端安装两个旋翼的特殊飞行器（图 3）。旋翼的旋转轴方向可以调整，与机身平行时与普通双引擎螺旋桨飞机相同。如转到与机身垂直，就成为带固定机翼的双旋翼直升机。因此同时具有固定翼飞机运载能力强、速度快和航程远，以及旋翼飞行器轻便灵活、能垂直升降的双重优点。但这种新型飞机研制过程并不顺利。据报导，在研制初期曾有过多起机毁人亡的事故。1988 年美国生产的 7 架原型机就有 4 架相继摔落，即使到了发展后期的 2000 年又发生两起严重的坠机事故。事故频发与特殊旋翼的陀螺力矩不无关系。

图3   V-22“鱼鹰”运输机

“鱼鹰” 飞机和普通飞机的区别就是机翼上多装了两个旋翼。这两个大型旋转物体加在飞机上，可使飞机的运动性态产生极大的变化。利用陀螺力矩知识判断，“鱼鹰” 装在机翼上的两个旋翼也必须朝相反方向转动，使可能发生的陀螺力矩合力矩等于零。但由于作用在机翼两端，陀螺力矩可引起机翼的扭转或弯曲变形，继而改变机翼的空气动力。与常规的固定翼或旋翼飞机相比，“鱼鹰” 具有更复杂的陀螺效应。

设“鱼鹰”的质心为 O，建立连体坐标系 (O-xyz)，x, y, z 分别为飞机的滚动轴、俯仰轴和航向轴。设旋翼处于直立的工作状态，左侧旋翼绕与 z 轴平行的旋转轴顺时针旋转，产生向下的动量矩 L₁，右侧旋翼逆时针旋转产生向上的动量矩L₂。当机身以角速度ω绕x轴滚动时，两侧旋翼产生的陀螺力矩  M₁ = L₁×ω  和  M₂ = L₂×ω  分别沿  y  轴的负向和正向（图 4）。机翼在两侧方向相反的陀螺力矩作用下产生扭转变形，使左侧的机翼断面绕 y 轴顺时针偏转，加大了气流的攻角，升力随之增大。右侧的机翼断面的偏转方向相反，减小了气流的攻角，升力随之减小。空气动力增量构成绕 x 轴的力矩，促使机身作更强烈的滚动。

                           图4   滚动运动产生的陀螺力矩

当机身以角速度 ω 绕 y 轴作俯仰运动时，两侧旋翼的陀螺力矩 M₁ 和 M₂ 分别指向 x 轴的正向和负向（图5）。机翼在方向相反的陀螺力矩作用下产生弯曲变形，使两侧机翼的末端均向上加速运动。安装在机翼两侧的短仓产生向下的惯性力，对机翼后方的飞机质心 O 产生绕 y 轴的力矩，促使机身作更强烈的俯仰运动。旋翼在水平位置与垂直位置之间转换的过程中，短仓相对机身的角速度也会产生与俯仰运动相同的效果。

                                 图5   俯仰运动产生的陀螺力矩

以上分析表明，对于 “鱼鹰” 类型的带旋转物体的飞行器，陀螺效应与空气动力的综合效应是不可忽略的重要因素。当飞机因扰动产生偏转时，旋翼的陀螺效应起了正反馈作用使偏转加剧，成为影响飞行安全的不稳定因素。

利用陀螺力矩的知识判断，似也存在这种可能性，即改变两侧旋翼的转动方向，使左侧旋翼逆时针旋转，右侧旋翼顺时针旋转。则改变方向后的陀螺力矩可使扰动引起的偏转角减小，使陀螺效应的正反馈变为负反馈，不稳定因素转化为稳定因素。至于这设想在实践中是否有效就只能依靠实践来检验了。

      （改写自：刘延柱. 趣味刚体动力学（第2版）, 5.3节及5.22节. 高等教育出版社，2018）

        图5  圆环的陀螺力矩