|Pxz - Pzy| <= 1 + Pxy

关键词：定域性、实在性、量子势、联合概率、谭天荣、黄政新

引言

爱因斯坦认为量子力学中的不确定性特征背后存在着隐变量，以波尔为首的哥本哈根学派则认为这种不确定性或偶然性是微观事物的固有禀性，背后不存在所谓隐变量。问题争论不休，互不服让。

1964年，贝尔（J. S. Bell）在物理期刊上发表了他的观点，提出了一个被称之的贝尔不等式，以借此来裁定“隐变量”的有无。

贝尔以衰变生成的两个单态粒子为例精心设计了一个思想实验，由于动量守恒和量子纠缠，两单态粒子运动方向相反、自旋方向相反；在对应方向分别设置两个在xy坐标面上互成夹角θ的自旋方向检测器，研究两检测器检测到方向相同的概率。对于这两个粒子，贝尔按照爱因斯坦想定的定域-实在性为前提对待这A、B两个粒子的行为，做出了数学上的推导，现复述如下，其中x、y、z代表空间三个正交的坐标方向，A_X表示A粒子在x方向，其它类推，N表示检测到的概率。

设Pxy的意义为粒子A在x方向上和粒子B在y方向上测量到自旋相同的概率，则有，

Pxy = - N₁ - N₂ + N₃ + N₄ + N₅ + N₆ - N₇ - N₈，同理有，

Pzy = - N₁ + N₂ + N₃ - N₄ - N₅ + N₆ + N ₇- N₈

Pxz = - N₁ + N₂ - N₃ + N₄ + N₅ - N₆ + N₇ - N₈，这就有，

|Pxz - Pzy| = | - 2N₃ + 2N₄ + 2N₅ - 2N₆ | = 2| (N₄ + N₅) - (N₃ + N₆) |

<= 2(N₄ + N₅) + 2(N₃ + N₆)，     由于有，

1 = N₁ + N₂ + N₃ + N₄ + N₅ + N₆ + N₇ + N₈，  代入得，

|Pxz - Pzy| <= (N₃ + N₄ + N₅ + N₆) + (N₃ + N₄ + N₅ + N₆)

|Pxz - Pzy| <= (N₃ + N₄ + N₅ + N₆) + (1 - N₁ - N₂ - N₇ - N₈)

|Pxz - Pzy| <= 1 + (N₃ + N₄ + N₅ + N₆ - N₁ - N₂ - N₇ - N₈)，代入Pxy，即得到贝尔不等式：

|Pxz - Pzy| <= 1 + Pxy ………………………… (1)

至此，原推导过程引用完毕。下面，我们从5个方面来分析说明：

1、贝尔不等式本身恒定正确

首先，无论从理论上还是实验上，无论是爱因斯坦的还是波尔的都认同(1)式中的所有概率都只能是正值，且都小于等于1、大于等于0，这样，(1)式左边必恒小于等于1，右边必恒大于等于1，因此就(1)式而言，无论如何都是成立的，不会存在贝尔不等式违背问题。

2、贝尔不等式的对应隐喻形式

所谓实验违反贝尔不等式一说指的是另有含义。因为对(1)式可做如下整理：

1 + Pxy - |Pxz - Pzy| >= 0，并令其等于P，则有，

P = 1 + Pxy - |Pxz - Pzy|

P = 1 – (|Pxz - Pzy| - Pxy) ……………………... (2)

在贝尔的论述中，基于对设定装置的认识，通过逻辑推理得到联合概率Pxz和Pzy对两检测器夹角θ成线性比例关系，并且逻辑认定联合概率Pxy对夹角θ也成线性比例关系，使得联合运算的式项(|Pxz - Pzy| - Pxy)与夹角θ必然成线性比例关系，并且逻辑认定在0 ~ 180°范围内因子(|Pxz - Pzy| - Pxy)大于0小于1，在180 ~ 360°范围内反向。至此，便可将(2)式改写为，

P >= 1 – |θ /180| ……………………………….... (3)

几乎所有人在分析讨论贝尔不等式时最终指向不是(1)式，而是(3)式。大家经常表述的所谓“贝尔不等式是由一元线性隐变量理论加上定域性约束导出来的”指的就是(3)式，(3)式成为贝尔不等式的隐喻存在形式，可用图形表达为：

方框图中，实线为(3)式所描述的理论上线性关系，虚线为实测值。

由图清晰可知，所谓“实验违背贝尔不等式”，准确地说是实验结果偏离了以线性关系为基础的“贝尔不等式”（黄政新很全面地综述了大量实验事实，说明无一例外）。

3、贝尔不等式实验违背的主流诠释与评价

实验结果对贝尔不等式（暗指(3)式）的偏离或者称之的“违背”说明了什么？自始至今，正统权威的解读是：实验以对贝尔不等式的违背事实毫无悬念地支持了量子力学，否定了爱因斯坦的隐变量观点以及对量子力学不完备的指责；又说，贝尔不等式提供了用实验在量子不确定性和爱因斯坦的定域实在性之间做出判决的机会；贝尔本人就斩金截铁地表示“任何定域隐变量理论都不可能重现量子力学的全部统计性预言”。学界高度评价约翰·斯图尔特·贝尔的用数学方法甄别哲学争议，方法妙不可言，史无前例。

4、贝尔不等式实验偏离的深层原因与联合概率

实验结果对贝尔不等式（指等价的(3)式）产生了实际偏离，说明了什么？本文对上述的主流诠释不甚满意。虽然实验结果支持了量子力学，然而咱们也不能做那种赢者通吃事不是；量子力学的观点、要义很多，不能借此契机夹带私货，想说什么是什么；应该有一说一，有二说二，具体地说就是，应该仔细厘清，到底是量子力学中的哪一个或哪一些要素导致了远超标准偏差范围的实际偏离。

意识到贝尔不等式意义深远，许多人喜欢发文感慨评论，使得贝尔不等式作为一个有趣的科学素材得以广泛传播，其中偶尔也能发现少量经不起推敲的质疑声音，不过，有一例外是谭天荣。

时年74岁的谭天荣老先生2009年在Academia Arena, 1(2)期上发表了他的“贝尔不等式与布尔代数”论文，并在平台https://max.book118.com/html/2019/0508/8102024076002022.shtm上以“被误解的贝尔不等式”为名进行了转载。谭天荣尖锐地指出贝尔不等式推导过程中的解释漏洞，即对经典概率进行包括加、减在内运算的联合概率法则不适用于微观世界，实验偏离经典线性关系属正常现象；实验结果只能说明“贝尔不等式提供了用实验在量子不确定性和爱因斯坦的定域实在性之间做出判决的机会”，而不能言及其它，实验结果与隐变量是否存在没有关系。

对谭天荣观点本人深以为然。经典联合概率不适用于微观世界的原因是显然的，那就是由于微观粒子波-粒二象性而产生的干涉效应。粒子的波动性是非定域的，非定域性是绝对的，定域实在性则是相对的。非定域的波动使得粒子运动的概率行径与观测（作用）的环境条件有关，一个简单典型的例子就是光的双缝干涉实验。显然，两个分别独立的单缝实验到达屏幕的光强分布（概率）结果加起来不等于两个单缝共同存在（双缝）时的屏幕光强分布结果。因此实验偏离是正常的，偏离幅度与波动性的大小成正相关，随着被实验观测对象质量的增加或逐步进入宏观尺度，偏离的幅度将逐渐变得微乎其微，贝尔不等式在实际中将变得越来越线性，被观察事物的定域-实在性增强并占统治地位。这样看来不客气地说，贝尔不等式的意义只是从另一个角度验证了微观粒子具有波动性而已。另外，好在爱因斯坦对微观粒子的波动性的一面是认可的，隐变量问题是在波动之后提出的，隐变量与波动性不矛盾。微观事物的定域实在性被否了，不等于否定其存在性，以定域为核心的非定域性也是一种存在，甚至包括虚数的复变形式。

5、倡导科学严谨

注意到有不少作者在主流诠释之后对贝尔不等式的寓意进行了过分地联想与渲染，加释了所谓量子纠缠超距作用、纠缠超光速了什么之类的结论，我以为这是极不负责、不严谨和不科学的，污染了大众的科学视听环境。