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关于弹性常数的计算-弹性模量矩阵元

已有 3664 次阅读 2021-3-30 22:06 |个人分类:弹性常数|系统分类:科研笔记

1. 弹性模量矩阵元

对于足够小的变形,由胡克定律(Hooke's Law)可知,应力与应变成正比,即应力分量是应变分量的线性函数,用矩阵的形式可以表示为:


T1


C11

C12

C13

C14

C15

C16


S1

T2


C12

C22

C23

C24

C25

C26


S2

T3

=

C13

C23

C33

C34

C35

C36

=

S3

T4


C14

C24

C34

C44

C45

C46


S4

T5


C15

C25

C35

C45

C55

C56


S5

T6


C16

C26

C36

C46

C56

C66


S6


式中Cij就是我们通常所说的弹性模量,可以证明,上述刚度矩阵为对称阵,Cij=Cji,因此,弹性模量的独立张量元数目至多只有21个。晶系的对称性越高,独立的张量元数目就越少。需要指出的是,Cij的数目只与晶系有关,而与晶系中具体的对称类型无关。

下面分别讨论七种不同晶系的弹性模量矩阵元:

1.1 三斜晶系(Triclinic system)

三斜晶系是所有七大晶系中对称性最低的晶系,因此拥有最多的独立矩阵元,其形式为:


C11

C12

C13

C14

C15

C16

C12

C22

C23

C24

C25

C26

C13

C23

C33

C34

C35

C36

C14

C24

C34

C44

C45

C46

C15

C25

C35

C45

C55

C56

C16

C26

C36

C46

C56

C66


共有21个独立的刚度矩阵元,求解过程也因此较为复杂。

1.2 单斜晶系(Monoclinic system)

C11

C12

C13

0

0

C16

C12

C22

C23

0

0

C26

C13

C23

C33

0

0

C36

0

0

0

C44

C45

0

0

0

0

C45

C55

0

C16

C26

C36

0

0

C66


考虑对称性后,单斜晶系有11个独立的矩阵单元。

1.3 正交晶系(Orthorhombic system)


C11

C12

C13

0

0

0

C12

C22

C23

0

0

0

C13

C23

C33

0

0

0

0

0

0

C44

0

0

0

0

0

0

C55

0

0

0

0

0

0

C66


从上式可以看出,正交晶系拥有相当高的对成性,其独立刚度矩阵元的数目为8个。

1.4 四方晶系(Tetragonal system)

1.4.1 四方晶系(4,-4,4/m)

对于具有4,-4,4/m对称操作的四方晶系,其弹性矩阵的形式为:


C11

C12

C13

0

0

C16

C12

C22

C23

0

0

-C16

C13

C23

C33

0

0

0

0

0

0

C44

0

0

0

0

0

0

C44

0

C16

-C16

0

0

0

C66


其独立刚度矩阵元的数目也为8个。

1.4.2 四方晶系(4224mm-42m4/mmm

对于具有4224mm-42m4/mmm对称操作的四方晶系,其弹性矩阵的形式为:

C11

C12

C13

0

0

0

C12

C11

C13

0

0

0

C13

C13

C33

0

0

0

0

0

0

C44

0

0

0

0

0

0

C44

0

0

0

0

0

0

C66

独立刚度矩阵元的数目仅为6个。

1.5 三角晶系(Trigonal system

1.5.1三角晶系(33

C11

C12

C13

C14

C15

0

C12

C11

C13

-C14

-C15

0

C13

C13

C33

0

0

0

C14

-C14

0

C44

0

-C45

C15

-C15

0

0

C44

C14

0

0

0

-C45

C14

(C11-C12)/2

三角晶系(33)的独立刚度矩阵元的数目为8个。

1.5.2三角晶系(323m32/m

C11

C12

C13

C14

0

0

C12

C11

C13

-C14

0

0

C13

C13

C33

0

0

0

C14

-C14

0

C44

0

0

0

0

0

0

C44

C14

0

0

0

0

C14

(C11-C12)/2

三角晶系(323m32/m)的独立刚度矩阵元的数目为6个。

1.6 六角晶系(Hexagonal system

C11

C12

C13

0

0

0

C12

C11

C13

0

0

0

C13

C13

C33

0

0

0

0

0

0

C44

0

0

0

0

0

0

C44

0

0

0

0

0

0

(C11-C12)/2

六角晶系共有5个独立的刚度矩阵元。

1.7 立方晶系(Cubic system

C11

C12

C12

0

0

0

C12

C11

C12

0

0

0

C12

C12

C11

0

0

0

0

0

0

C44

0

0

0

0

0

0

C44

0

0

0

0

0

0

C44

立方晶系是所有晶系中对称度最高的晶系,其独立的刚度矩阵元数目仅为3个。

 

至此,我们列出了所有七大晶系的刚度矩阵元,只要求出各晶系对应的所有独立矩阵元,即可得到晶体的刚度矩阵。




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1 王安良

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