1、算法开始前，先简单描述一下随机游走模型

一维随机游走问题：设一个质点（随机游走者）沿着一条直线运动，单位时间内只能运动一个单位长度，且只能停留在该直线上的整数点，假设在时刻t，该质点位于直线上的点i，那么在时刻t +1，该质点的位置有三种可能：①以p 的概率跳到整数点i-1，②或以q的概率跳到点i+1，③或以r=1-p-q的概率继续停留在点i ，由于每一步的结果都是独立的，且每种情况发生的概率之和都为1，则该过程服从伯努利分布，称为贝努利随机游走过程。当 p=q=0.5时，即质点在下一时刻到达其相邻点的概率是相等的，称为简单的随机游走。

例子1：如下图所示，假设某一时刻一质点位于刻度2的位置，质点左右游走的概率各为0.5，那么下一时刻该质点既有可能往左走，也有可能往右走，当质点运动到位置0、5位置时，质点停止运动，求质点到最后运动到位置5的概率？该问题便是随机游走问题。 

对于一维的简单随机游走问题，满足：

   ,    

其中，x为当前的位置点，x-1、x+1为位置x的左右邻接顶点。根据该公式，我们可以列出由n个未知数组成的n个方程组，可以发现该方程组的系数矩阵即为拉普拉斯邻接矩阵。拉普拉斯矩阵是非满秩矩阵，需要添加边界约束条件，方程组才有唯一解。

如例子1的问题，设添加边界约束条件：

则最后可以列出如下方程组，求出各点到位置5的概率。

2、基于随机游走的图像分割算法

①参考文献：《Random Walks for Image Segmentation》

②文献概述：随机游走算法是一种基于图论的分割算法，属于一种交互式的图像分割。它的分割思想是，以图像的像素为图的顶点，相邻像素之间的四邻域或八邻域关系为图的边，并根据像素属性及相邻像素之间特征的相似性定义图中各边的权值，以此构建网络图，然后由通过用户手工指定前景和背景标记，即前景物体和背景物体的种子像素，以边上的权重为转移概率，未标记像素节点为初始点，计算每个未标记节点首次到达各种子像素的概率，根据概率大小，划分未标记节点，得到最终分割结果。

例子2：如图下所示，图中的小圆圈代表图像上的每个像素点。L1，L2，L3三个种子点分别由用户交互输入，作为标记的种子点。现要把图像分割成对应的三部分。

③算法流程：

A.计算图中任意一点vi与其各个邻接顶点连接边的权重:

其中，表示个像素点的灰度值、或纹理信息等参数；

B.对于图中任意一点vi的概率，其满足随机游走概率公式：

其中，Ni为vi点的邻接顶点（可为四邻接顶点或八邻接顶点），根据上式，可构建图的拉普拉斯矩阵，然而拉普拉斯是非满秩矩阵，需要添加边界约束条件，才可根据方程组解出个各未知点的概率。也就是将图像分割问题转换为Dirichlet问题进行求解。

C.添加边界约束条件：以已标记的K类顶点作为边界约束条件，求解未知点到各个类的概率。如下图所示：求解各未知点游走到L1的概率，则以，作为约束条件，可求得个未知点的概率，如下图所示:

到达L1的概率

到达L2的概率

到达L3的概率

(5) 每一个未标记点，根据获得的对 K 类标记的隶属度值进行判断，若未标记点到达第k类的概率最大，则将未标记节点vi判别为属于类别k，完成分割。

【参考】

https://blog.csdn.net/zoeyyeoz/article/details/51323281

https://www.cnblogs.com/shushen/p/5144823.html

https://blog.csdn.net/qi_759916/article/details/81608198