在有的统计学文献中，可以发现如下对t-值和学生氏t-分布的解释： （1）t-值与z-值具有相同的意义: 量度样本均值与总体均值的（标准化）距离（例如【1】）。（2）学生氏 t-分布的尾部较厚重，意味着学生氏t-分布更容易产生远离总体均值的值（例如【2，3】）。然而，这两个解释都是错误的，反映了对t-值和学生氏t-分布的认知偏差。

图1显示仿真模拟的（s, ε) 散点图（s=样本标准差, ε=样本误差，用σ标准化，样本量n=4)。样本误差ε为样本均值与总体均值之差。在这个原始 s-ε平面上，两条红色平行线之间的带型区域为标准化z-区间（95%覆盖率，z-值=z₉₅=1.96）， 即：

 

从图1可以看出， z-值量度标准化误差的大小，即样本均值与总体均值的标准化距离。图1中显示的z-区间对应于z-值=z₉₅=1.96，表明有95%的数据分布在总体平均值1.96个标准误差范围内。图1中显示的t-区间对应于t-值=t₉₅=3.18，表明有95%的数据分布在t-区间扇形区域内。但是，很明显我们不能套用对z-值的解释来解释t-值，即我们不能说t-值量度标准化误差的大小。事实上，z-值是z-区间边界水平线的截距因子，t-值是t-区间边界斜线的斜率因子；水平线和斜线不可能重合。即使样本量n非常大时，t-值接近z-值， t-值的数学意义依然与z-值不同。

从图1还可以看到，虽然t-区间和z-区间的覆盖率相同（95%），它们分别“覆盖”不同的数据。也就是说，t-区间的“内容”不同于z-区间的“内容”。因此，学生氏t-分布与标准正态分布在“本质”上是不同的。特别需要注意的是，学生氏t-分布的尾部是由t-区间扇形区域以外的数据构成的，其中包含大量误差很小的数据，即这些数据对应的样本均值实际上与总体平均值的距离很小。

 那么，为什么会出现对t-值和学生氏t-分布的认知偏差呢？我们将图1显示的（s, ε) 散点图中的数据通过t-转换显示在图2的（s, t)散点图中。在这个t-转换 s-t平面上，z-区间和数据发生了扭曲（称为‘t-转换扭曲’【4，5】），而t-区间边界变为两条平行线，即：

参考文献

【1】  Dean S and Illowsky B 2014 Confidence Intervals: Confidence interval, single population mean, population standard deviation unknown Connexions modules: m16959, http://www.saylor.org/site/wp-content/uploads/2011/06/MA121-4.2.2.pdf.  Quote: “The t-score has the same interpretation as the z-score.  It measures how far [the sample mean] is from its mean μ.”

【2】  Brennan J 2014  Math 148, BU, Part VIII - Tests of significance, Chapters 26, 28, and 29  http://www.math.binghamton.edu/jbrennan/home/S13MAT148/PartVIII.pdf

【3】  Hayes A 2021 T distribution definition, Investopedia https://www.investopedia.com/terms/t/tdistribution.asp.  Quote: “The T distribution, like the normal distribution, is bell-shaped and symmetric, but it has heavier tails, which means it tends to produce values that fall far from its mean.”

【4】  黄河宁，2020 为什么基于t-分布计算小样本测量不确定度是一个谬误？-3 个悖论及其消解，Researchgate 链接：https://www.researchgate.net/publication/343039726_weishenmejiyu_t-fenbujisuanxiaoyangbenceliangbuquedingdushiyigemiuwu_-3_gebeilunjiqixiaojie

【5】Huang H 2018 Uncertainty estimation with a small number of measurements, Part I: new insights on the t-interval method and its limitations Measurement Science and Technology 29  https://doi.org/10.1088/1361-6501/aa96c7

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