2000年，Ballico在《Metrologia》上发表了一篇题目为：“Welch-Satterthwaite公式对于测量不确定度计算的局限性” 的论文【1】。他在论文中揭示了应用《测量不确定度表示指南》（以下简称《指南》）推荐的计算扩展不确定度的方法：WS-t方法，有时会产生违背常识的结果。他的发现后来被称之为Ballico悖论。

1、WS-t方法

考虑对某一物理量的测量受到多个误差源的影响。假定误差源相互独立，《指南》给出的多个误差源情况下扩展不确定度计算公式为【2】：

2、Ballico悖论

Ballico在澳大利亚国家测量实验室对一个高精度温度计在两个量程下进行了标定和不确定度分析。标定量涉及5个误差源（即5个不确定度分量）。Ballico发现，应用WS-t方法计算的扩展不确定度在高精密量程（1 mK）反倒比低精密量程（10 mK）大，分别为：37.39和35.07 mK。这个不确定度评定结果显然违背常识。

Ballico认为WS-t方法导致的不合理的不确定度评定结果是由于计算有效自由度的Welch-Satterthwaite公式的局限性引起的。他因而提醒应用Welch-Satterthwaite公式时需要注意。但是Ballico没有找到Ballico悖论产生的根本原因，所以没有提出消解的方法。然而，Ballico悖论已经足以证明WS-t方法是无效的【3】。

3、Ballico悖论的消解

2016年，笔者对Ballico悖论进行分析后认为Welch-Satterthwaite公式是有效的。Ballico悖论并不是由于Welch-Satterthwaite公式的局限性引起的，而是因为应用t-分布引起的【3】。笔者将单个不确定度分量的无偏估计法推广到多个不确定度分量的情况，提出了WS-z方法，有效地消解了Ballico悖论。关于WS-z方法详见【3】。

2018年，笔者提出了“测量误差与不确定度的统一理论”（以下简称统一理论）【4】。统一理论将传统误差理论与近代不确定度理论结合起来，保留了两种理论中的合理部分，去除了不合理部分。在统一理论中，不确定度定义为概率误差限（即概率区间的半宽），采用无偏估计法计算A类标准不确定度。多个误差源情况下扩展不确定度的计算公式为

式中z_p为对应于p的z-因子,c_4,ni为样本标准差偏差修正因子。注意到有效自由度没有在公式中出现。这是因为在统一理论中，扩展不确定度的计算不需要有效自由度，所以也就不需要Welch-Satterthwaite公式。十分重要的是，根据Jensen不等式【5】，式（2）的计算结果将是保守的，即比扩展不确定度“真值”大。笔者的计算实例表明，式（2）的计算结果只是略微保守【4】。

作为统一理论的一个应用实例，采用式（2）能够有效的消解Ballico悖论（见表1）。

表1  高精度温度计在两个量程下不确定度分析结果（单位mK）

4、小结

Ballico悖论揭示了《指南》推荐的计算扩展不确定度的方法：WS-t方法，是无效的。Ballico悖论不是由于Welch-Satterthwaite公式的局限性引起的，而是因为应用t-分布引起的。WS-z方法和测量误差与不确定度的统一理论都能够有效地消解Ballico悖论。

参考文献

[1]    Ballico M 2000 Limitations of the Welch-Satterthwaite approximation for measurement uncertainty calculations. Metrologia 37:61-64

[2]    Joint Committee for Guides in Metrology (JCGM) 2008  Evaluation of Measurement Data - Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM 1995 with minor corrections)  Sevres, France

[3]    Huang H 2016  On the Welch-Satterthwaite formula for uncertainty estimation: a paradox and its resolution  Cal Lab the International Journal of Metrology 23 20-28 ResearcgGate链接：https://www.researchgate.net/publication/311104632_On_the_Welch-Satterthwaite_formula_for_uncertainty_estimation_a_paradox_and_its_resolution

[4]     Huang H 2018  A unified theory of measurement errors and uncertainties Measurement Science and Technology 29 125003 https://doi.org/10.1088/1361-6501/aae50f ResearcgGate 链接：https://www.researchgate.net/publication/327945586_A_unified_theory_of_measurement_errors_and_uncertainties

[5]    Jensen J L W V 1906 Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes Acta Mathematica 30 175–193 doi:10.1007/BF02418571