必须强调，不能用书本知识或历史来代替逻辑论证，这是因为，书本知识未必正确，历史未必一定不走弯路。

例如，关于无限的本质，以及无限究竟能否完成，一直有争论。

在数学中，无限大指的是数的大小没有界限或限制，可以一直增加。

由于实数内任何数都是有限的，因此实数域内的无限就是指有限数的大小没有界限和限制而已。

因此，无限的本质，其实非常简单:不过是可以永远增加的有限值，例如每一个自然数是有限的，但自然数集合是无限的，所以自然数集合的无限性不过是描述了这样一个事实:有限的自然数的增加过程永远不会完成而已。

由此可见，无限的本质就是不能完成。例如，如果有限的自然数的增加过程可以完成，那就必然完成于某一个具体的自然数，也就是存在着最大的自然数，这时形成的就只能是有限集合，而不可能是无限集合。

这不过是再简单不过的事实。

不过，有的人认为无限是可以完成的。比如，有的人认为，时间t=1时已经过了0.9 ，0.99，0.999……等无数个点，因此当t=1时，无限已经完成。

t=1时只是达到了无限，但这并不意味着无限已经完成，道理非常简单，如前所述，无限的本质不过是可以永远增加的有限值，如果无限已经完成，用自然数表示的9的个数就不能再增加了，当然就是一个有限小数而不是无限小数。因此，在t=1这一时刻，9的个数仍然在不断增加，只是每增加一个9只需要零秒而已。

由此可见，t=1时，之所以可以达到无限，正是在于9的个数可以不断增加，即该过程不能完成所致。

有些无限过程不但不能完成，而且也永远不能达到。例如，圆周率的计算就是这样一个过程。

无限即使能达到，也永远不能完成，这就是无限的本质特点。

有一个网友设计了这样一个思想实验:当有奇数个9时亮黄灯，有偶数个9时亮蓝灯，t=1时亮什么灯？

如果无限可以完成，t=1时。要么亮黄灯，要么亮蓝灯，但究竟亮哪一种颜色的灯？显然，对所谓实无限论者来说，这是一个永远无法回答的问题。

用我的理论却可以很容易地解释:

t=1时，9的数目仍然在不断增加，有无数个状态，其中一半状态亮黄灯，一半状态亮蓝灯。

有的人可能对于同一时刻有不同的状态感到无法理解，这里我可以再举一个例子。在物理学中，假定相对论是正确的，则速度是有限的，不能超过真空中的光速。但在数学上，如果假定速度是无限的，电子从某一个地方到另一个地方所需要的时间就是零秒，也就是说，在同一个时刻，电子可以既在这里又在那里。

实际上，电子以接近光速运动，对于有滞后的观察者来说，与上述情形相差无几:如果用一个分辨率高到可以拍摄电子的高速摄影机来拍摄，我们实际上并不能拍摄到单独的电子，而只能拍摄到所谓的电子云。这是不是所谓波粒二象性的本质，要由物理学家来回答，我这里只是说明了，在无限的假定下，同一时刻可以有不同的状态。既然如此，在任意一个时刻(例如t=1时)都不能断言无限已经完成了。

事实上，能够完成的永远是有限而不是无限。

承认自然数集合没有最大自然数，实际上也就是承认自然数集合的形成过程不能完成:一旦完成，就意味着不再有新增加的自然数，当然就不可能有更大的自然数了，这时必然可以在已经形成的自然数集合中找出一个最大数，与集合的无限性矛盾。

同理，如果认为无限集合的外延是确定的，也意味着不再有新增加的自然数，这时也必然可以在已经形成的自然数集合中找出一个最大数。

有一个对康托理论深信不疑的网友不相信，我让他用最基本的找最大数的算法去编一个程序，最后他没话可说了。

这么简单的事实是不可能否定的。

 既然自然数集合的形成过程永远不能完成，我们当然就得不到已经完成了的自然数集合。也就是说，我们实际上观察到的自然数集合都是正在形成过程中的自然数集合，不存在已经完成了的、包括全体自然数的集合。由于形成过程的程度不同，所以在不同形成阶段的自然数集合互不相同，并不存在一个唯一的自然数集合。

 有的人认为，如果把自然数集合定义为已经包括了全体自然数的集合，这样定义的自然数集合当然是唯一的，研究起来显然就要方便得多。

目前，主流数学界其实就是这样定义的。

可惜的是，这样的自然数集合实际上并不存在。

 如果有人一定要研究并不存在的东西，比方说在欧几里得空间中研究并不存在的正十面体，当然是他的自由，没有人能拦住他，但绝不能因此把不存在的东西当做存在的东西。

因此，自然数集合可以科学地定义为由无限个自然数1，2，3……为元素的集合，而不能定义为由全体自然数组成的集合。

至于为了研究方便而削足适履地随意篡改事实，那只能说明篡改者的不科学和无能。