关于这些悖论，我以前都发表过相关的文章，现在发现其实可以更简单地加以叙述如下：

       1）贝克莱悖论：以y=x²的精确导数dy/dx=2x＋dx为例，贝克莱悖论说的是，dy，dx都是无穷小量，但优势可以看作零，有时则不可以，似乎违反了同一律。

        能否忽略无穷小即将其视作零取决且仅取决于对最后结果有没有影响：如果有影响，则不可忽略，例如，对dy/dx，无论将dy还是dx视作零都会导致错误，这时不可以将他们视作零.相反；如果忽略了对最后结果没有影响，则可忽略。例如，y=x＾2的精确导数等于2x＋dx，但忽略不忽略dx，最后的结果是一样的，所以可忽略。当然，不忽略也可以，只是比较麻烦。

     何来悖论之有？

     2)罗素悖论：

    只要将其集合的定义稍微改进一些，罗素悖论就不会出现。

        我是这样修改素朴集合论的：

        由于先有元素，才有集合，所以元素是比集含更为原始的概念。

        我将任何欲研究对象定义为元素，而将元素放在｛｝内就定义了一个集合，当然，没有欲研究对象，则｛｝定义了一个空集。

        这里要注意的是，既然引入了集合的概念，那么，集合和组成集合的元素就是不同的概念，绝对不能混淆。

        例如，如果将1作为元素，那么集合｛1｝就不同于1，即1=｛1｝是不合法的，同理，A=｛A｝, A=｛A,B｝等所有所谓包含自身的集合都是非法的，哪里还有罗素悖论？

        3)芝诺悖论

        快跑者第一次到达乌龟原来的地方x1时，乌龟已经前进到达x2了，快跑者第二次到达x2时，乌龟又已经前进到达x3了...似乎永远也追不上？

        其实，无论是第一次，第二次....都是有限次，因此，芝诺只证明了在有限次内是追不上乌龟的，并没有证明无限次也追不上乌龟。

        计算次数需要无限次，并不等于计算结果也是无限的。用数学方法不难证明，这个级数是收敛的，所以只需要有限时间就能追上。并不存在任何悖论。