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可数无限集是否能将其元素全部列出?
潜无限和实无限的观点显然是不同的。
潜无限认为既然无限是一个不会结束的过程,自然其元素也是永远列不完的,怎么可能将其全部列出呢?
但在实无限看来,如果不能将其全部列出,一切讨论从何开始?似乎“一步也走不了“(康托语,大意)。
其实,数学研究是一个科学,而非文革式的站队,那样不会取得一致意见。
可数无限集是否能将其元素全部列出,完全取决于如何定义“全部列出“这一概念。以下两个定义所得的结果表面上截然相反,实际上并没有矛盾。
定义1若给出一个集合,该集合将全部元素从头至尾一个不漏地列出,则称为已将元素全部列出。
定义2若给出一个集合,该集合包括了其所有的元素,则称已将元素全部列出。
以自然数N={1,2,3,…}为例:
如果根据定义1,由于自然数可以任意大,即没有最大的自然数,或者说没有可以作为“尾巴”的自然数,因此是不可能将自然数全部列出的。
但根据定义2,显然任何一个自然数都在N={1,2,3,…}内,因此是可以将自然数全部列出的。
以上讨论表明,在数学中(其实在任何学科都一样),任何讨论都首先要明确定义。如果定义不明确甚至不一致,完全可能会出现永远也停止不了、且毫无意义的争论。
但要注意的是,虽然根据定义2,自然数是可以全部列出的,但并不意味着可以将自然数列完。这是因为,定义2只要求“集合包括了其所有的元素”,并不要求将全部元素从头至尾一个不漏地列出,即并不要求将元素全部列完。
事实上,如前所述,即使是对于最简单的自然数集合,也是无法将其元素全部列完的。
因此,如果将可以将无限集合的元素全部列完作为实无限的定义,该定义显然与事实不符合。
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GMT+8, 2024-8-10 17:22
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