非线性+网络：2020研究热点综述

文献：Mason A. Porter. Nonlinear+Networks: A 2020 Vision. arXiv:1911.03805 [cs.SI] 2019

网络科学日新月异，网络科学大会ER奖得主、加州大学洛杉矶分校数学教授Mason A. Porter在这篇综述论文中指出了未来网络研究的四个热点，分别是：1）时序网络（网络中的实体或实体间的关系随时间变化）；2）网络上随机和确定性动态过程；3）自适应网络（网络上的动态过程与网络结构动力学耦合）；4）高阶网络。

1. 时序网络（Temporal Networks）

传统的网络研究中假设网络结构与时间无关，但是许多网络随着时间不断进化。例如，人类社交网络随着个体间的交互不断变化，去年你的朋友圈中活跃的人，在今年不一定活跃，一些道路被关闭维修，新的道路被建造，航线随着季节和年份不断改变。时序网络中的边，会随着时间的变化出现或者消失。为了研究这种随时间变化的结构，我们可以对时序网络进行分析。

时序网络的关键思想是网络随着时间变化，但是对这些变化进行建模可以有多种方式，而且交互和变化的时间尺度在建模过程中十分重要。下图对比了普通的网络（左边）与时序网络（右边）的不同。

图1. （a）静态网络（b）时序网络随时间展开图

离散时间的时序网络可以用多层网络（multilayer network）来表示，如下图所示。多层网络可以包含层内边和层间边。可以用高阶张量来表示多层网络的连接关系。时序网络的多层表示，还促进了对网络上社区发现（community detection），以及社区合并、分离及演化的研究。如今时序网络上的社区发现方法，已经在神经、材料、疾病传播、生态、投票等多个场景下得到了成功的应用。

图2. 多层时序网络示意图（每一层代表一个时间点）

网络中的中心性度量（centrality）是长期的研究热点，这一指标可以揭示网络中结点或边的角色，例如网页排名、学术评价。近年来，各种类型的中心度，包括介数中心度、连通度、特征向量中心度等，已经被推广到了时序网络上，用来衡量结点或边的重要性如何随网络结构改变而变化。

2. 网络上的动力学过程（Stochastic and Deterministic Dynamical Processes on Networks）

网络上结点之间的互动机制，被称为网络上的动力学。网络上的动力学过程可以是离散的、连续的、或混合的，也可以是随机的或确定性的。

多层网络上的动力学过程主要分为两类：1）同一种互动机制作用于不同层的网络；2)不同层的网络采用不同的互动机制且相互影响。例如模因（meme），可以在微信、微博、B 站等多个社交媒体上传播，它们组成了多层网络。一方面，模因在这些网络上的传播过程，有着相似的动力学机制，不同的社交媒体在网络结构上会有不同，这带来模因传播速度和程度的差异。另一方面，模因还可以在线下真实的人群中，通过口耳相传进行，这时就需要使用不同于线上的传播机制来进行建模。

3. 自适应网络（Adaptive Networks）

网络上的动力学过程与网络结构本身的动态变化这两者不是孤立出现的，即结点本身会随着网络结构的变化而改变自己与其他结点的交互模式。自适应网络模型可以同时解释数据对象的结构特征和时序特征。

自适应网络的建模中更常关注结点的重连，例如Gross提出的疾病传播模型，结点会以一定概率切断和已感染结点的连接，并和未感染的结点建立连接，保护自己。或者在社交网络上，选择与那些观点和自己相近的结点连接，并去关注那些观点或阅读难度和自己差距较大的媒体。自适应网络考察的是结点间的博弈和合作，如群体智慧的涌现，也可以解释为何由普通人构成的网络中会出现极端思想等反直觉的现象。

4. 高阶网络（Network Structure and Dynamics that include “higher-order” Interactions）

传统的网络只考虑两个结点之间的关系，但是对于现实情况，往往是多个结点共同合作或产生关联，例如论文合作网，就往往涉及多个作者，或者一个人的观点，是受到多个人共同影响的。高阶网络考虑的就是多个结点间的连接。

用超图模型来表示网络中的高阶结构是一种最简单的方式，超图中的超边可以表示任意数量的结点之间的关系。可以将超图转换成二部图来进行研究，但这种方式就失去了网络结点同质的性质。将传统图论的研究方法和结论推广到超图上是非常重要的。

图3. 超图与二部图

另一种表示高阶结构的方法是单纯复形。单纯复形是拓扑学中的概念，指由点、线段、三角形等单纯形“粘合”而得的拓扑对象。零维单形是一个点，一维单形是一线段，二维单形是一三角形，三维单形是一四面体。

图4. 单纯复形

网络模型和分析过去在统计学、经济学、材料科学、气象学、人文科学等诸多领域都取得了显著的进展，未来随着在模型中引入时间，博弈和多元关系，必将能对更多的现象，进行更贴合实际的建模，预期会产出更丰盛的果实。

备注：2020年3月9日，糖果之家“大数据与智能决策”讨论班（Seminar）在线开讲，本次讨论班以“复杂网络”为题，讨论了一篇文献，由博士生Li Yang进行讲解，共有博士生和硕士生16人在线参加。