图1. 分数阶阻抗模型降阶及联合时频分析示意图。

3.1. Warburg单元的模型降阶理论

3.2. 整数阶电路的模型降阶理论

3.3. 阻抗谱模型降阶的数字仿真

借助于分数阶阻抗模型降阶方法，本文实现了对如下模型的简化：

（1）典型Warburg单元Z_Ws、Z_Wo和Z_W∞模型；（2）典型的锂离子电池、超级电容器和固体氧化物燃料电池的分数阶阻抗模型。

3.3.1 Z_W∞阻抗模型降阶的时频验证

由上述Warburg单元的模型降阶理论可知，Z_W∞可被简化为S-type RC电路。若设定Z_W∞相关参数σ=1.96 mΩ s^-1/2，对应的3~5阶S-type RC电路参数及特征时间常数如表2所示。

(1) 频域近似结果评估：首先，S-type RC电路较好地表征了Z_W∞的整体阻抗特征。定义上限频率点f_U和下限频率点f_L作为评估Z_W∞模型降阶效果的特殊频率点，当f <f_L或f>f_U时，降阶模型近似精度快速下降。Z_W∞降阶模型在中频区（f_L<f<f_U）取得较好近似效果，随阶数增大，近似精度与RC单元的数值和特征时间常数均发生较大变化。

图2 0.01Hz~1000Hz频率范围内，ZW∞与降阶所得3~5阶的S-type RC电路的频域EIS结果对比。

(2) 时域近似结果评估：降阶模型的时域近似结果仅在初始时刻相对误差较大，随时间增大，相对误差逐渐减小，但在时间窗末端，其相对误差反而会随时间略微增大。随阶数增大，近似结果的总体误差会逐渐降低，尤其初始0.01 s时刻处的相对误差下降明显。该趋势与其频域结果一致，即在低频区和高频区，其近似结果均存在较大误差，增大降阶模型阶数可改善近似效果。

图3 ZW∞与降阶所得3~5阶S-type RC电路时域电压响应结果对比。

此外，本文还详细解析和对比了Z_W∞模型降阶与Z_Ws、Z_Wo模型降阶的相似性和差异性，详情请参照原文。

3.3.2 锂离子电池分数阶阻抗模型降阶

图4为LIB模型降阶的完整流程图，相关具体描述请参照原文，降阶模型的所有参数数值及降阶模型的特征时间常数演化趋势如表3所列。

图4 LIB模型降阶流程图。

表3 LIB分数阶模型及降阶模型的参数值

借助于上述图4所示降阶流程，可将LIB分数阶模型降阶为5阶、4阶和3阶S-type RC电路模型。对分数阶模型和降阶模型进行频域和时域响应的求解，可得二者的时频域结果对比如图5所示，由图5可得以下结论：

图5 0.01 Hz~1000 Hz频率范围内，LIB分数阶模型与降阶所得3~5阶S-type RC模型时频结果对比。

(1) 模型降阶过程中，优先确保对低频信息的表征，舍弃部分高频信息，确保对模型重要特征的表征，同时降低模型复杂度。随阶数减小，中高频区近似效果变差，尤其高频区近似误差明显增大。

(2) 时域响应的相对误差集中于初始时刻处。同时，当模型阶数为5阶时，在所关注时间范围内，误差同样均低于5%。该趋势与上述频域分析部分相吻合。

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