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数学是研究现实世界数量关系和空间形式的一门学科,数学有别于其它学科的两个主要特征是:高度的抽象性和严谨的逻辑性。
牛顿创立《微积分》的目的是为了研究质点的运动状态及规律。质点运动的特点是质点空间位置随时间连续变化,即质点位置x是时间t的函数,因此,《微积分》用时间函数x(t)来表示质点在t时刻的位置。
《随机过程》也令x(t)代表布朗粒子在t时刻的位置,并假设“x(t)是t的连续函数”。
《随机过程》将时间区间[0,t]进行n等分,将x(t)表示为n个时间函数增量之和:
x(t) = ∆x1 + ∆x2 + … + ∆xn
《随机过程》又将n个时间函数增量∆x1,∆x2,…,∆xn假设(偷换)为n个独立同分布(i.i.d.)随机变量,然后根据中心极限定理,得出
x(t) ~N(0,σ2t)
《随机过程》从“x(t)是t的连续函数”的假设出发,推出了“布朗运动位移x(t)服从(0,σ2t)正态分布”的结论,并将其作为《随机过程》基本假设,借助于形式逻辑规则构建出了《随机过程》布朗运动理论。
从上述推理过程可以看出,《随机过程》从“x(t)是时间函数”的前提出发,推出了“x(t)是随机变量”结论,表明《随机过程》在推理过程中出现了违反同一律的“偷换概念”逻辑错误。
时间函数x(t)和随机变量x(t)的数学符号虽然完全相同,但它们是两个内涵与外延完全不同的数学概念。
随机变量x(t)中的t并不是自变量,t只是一个时间标记而已。随机变量x(t)的真正自变量是样本点ω,因此,随机变量x(t)在t时刻有多个或无穷多个与样本点ω对应的取值,而时间函数x(t)在t时刻仅有唯一一个取值。
为了保证数学理论的确定性和无矛盾性,必须要遵循逻辑思维基本规则——同一律。
在同一推理过程中,所使用的概念必须要始终保持同一,不能用一个完全不同的概念替换原有概念,否则会犯“偷换概念”逻辑错误,导致结论在逻辑上不能自洽,并且与客观事实不符。
牛顿在创立《微积分》时违反同一律,将∆x≠0和∆x=0这两个不同的概念相互替换,产生了著名的“贝克莱悖论”,引发了一场数学史上持续150年的第二次数学危机,《微积分》理论险被推翻。
请教数学家:布朗粒子在t时刻的位置x(t)究竟是时间函数还是随机变量?
参考:
[1] 请教物理学家:布朗运动位移究竟是时间函数还是随机变量?
https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1447324.html
[2]Gregory F.Lawler.随机过程导论[M]. 张景肖译. 北京:机械工业出版社,2010年.
[3] 布朗运动研究的乱象及机遇
https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1446740.html
[4] 驱动《随机过程》范式转换的四个反常现象
https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1438435.html
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