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时间函数的增量是时间函数还是随机变量?

已有 834 次阅读 2024-4-7 08:36 |个人分类:随机过程|系统分类:科研笔记

时间函数的增量究竟是时间函数还是随机变量?这个一个明知故问的愚蠢问题,就如同去幼儿园问小朋友“从煤球上掉下的煤粉究竟是黑的还是白的”一样弱智,时间函数的增量当然是时间函数。

但是,这个问题对随机过程领域的专家学者们来说,却是一道拷问灵魂的世纪难题,100年来无人能够正确回答因为《随机过程》教科书的研究方法提供了错误的标准答案时间函数的增量是随机变量

《随机过程》为了研究图1所示的布朗运动位移曲线性质,首先将布朗运动在t时刻的位移X(t)抽象为时间函数,并明确指出:X(t)t的连续函数

函数图像.png

1 布朗运动位移曲线

《随机过程》然后将[0,t] 区间n等分并用Xi表示X(t) 在第i个时间段内的增量

XX(i)-X(i-1)i=1,2,…,n

X(t)可改写为

X(t) =X1+∆X2+…+∆Xn

注意《随机过程》将时间函数X(t)表示为“时间函数增量之和”,这时的增量Xi仍然是时间函数。

随后,匪夷所思的事发生了,《随机过程》为了利用中心极限定理,竟然违反同一律,将时间函数的增量Xi偷换为独立同分布i.i.d.随机变量推出了时间函数X(t)为“独立同分布随机变量之和”的荒谬结论,与前面的时间函数X(t)为“时间函数增量之和”自相矛盾导致随机过程》布朗运动定义(基本假设隐含逻辑悖论,必然使《随机过程》布朗运动理论在逻辑上不能自洽

显然,《随机过程》有意偷换概念,不加说明地用一个完全不同的概念去代替原有概念进行假设、推理或证明,因而产生了违反同一律的逻辑错误。

牛顿在创立《微积分》时也曾因违反同一律,将∆x≠0∆x=0这两个完全不同的数学概念等同使用,产生了著名的“贝克莱悖论”,导致《微积分》理论在逻辑上不能自洽

英国大主教贝克莱Berkeley强烈指责牛顿是有意识地偷换概念,《微积分》是“分明的诡辩”,引发了数学史上持续150年的第二次数学危机,导致《微积分》理论险被推翻。

后来柯西Cauchy将极限概念作为《微积分》的理论基础,才彻底消除了牛顿违反同一律的逻辑错误,解除了数学史上的第二次危机。

随机过程》违反同一律的偷换概念逻辑错误不仅导致《随机过程》理论与客观事实不符,在逻辑上不能自洽,而且与《随机信号分析》严重对立冲突,无法正确描述布朗运动现象及规律,为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。

        

       

参考

[1] Gregory F.Lawler.随机过程导论[M]. 张景肖译北京:机械工业出版社,2010.

    

  



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