很多数学推理的逻辑结论需经过比较繁琐的公式推导过程，人们很难对逻辑结论的正确性做出快速判断。

特殊值代入法是初中数学常用的一种快速检验方法。通过选择一个或多个特殊值，代入与逻辑结论相关的公式进行简单运算，从而可快速验证逻辑结论的正确性，使非常复杂的判断问题变得异常简单。

特殊值代入法的原理是：矛盾的普遍性寓于特殊性之中，并通过特殊性表现出来，没有特殊性就没有普遍性。一般情形下成立的命题，对于特殊情形也必然成立；反之，对于特殊情况不成立的命题，一般情形也不成立。

设S(n)为一维简单对称随机游走在第n步的位置，则波利亚随机游走定理可用数学公式表示为：

P[S(n)=0，i.o.]=1

即一维简单随机游走具有常返性，S(n)返回原点无穷多次的概率为1。

我们选择随机游走S(n)返回原点时的步数n和位置0为特殊值，此时有

S(n)=0

由上式可直接计算随机游走S(n)在第n步返回原点时的方差D[S(n)]，有

D[S(n)]=D[0]=0

但是，根据随机游走定义，随机游走S(n)在第n步时的方差D[S(n)]=n≠0，因此，波利亚随机游走定理不能成立。

特殊值代入法对波利亚随机游走定理的检验结果表明：波利亚随机游走定理与随机游走定义在特殊时刻（返回原点）的方差自相矛盾，暴露出《随机过程》理论在逻辑上不能自洽，出现逻辑悖论。

数学理论是借助于逻辑推理基本规则构建出的演绎知识体系，形式逻辑的无矛盾性是其重要特征。也就是说，数学理论的内部在逻辑上是自洽的，不能推出两个自相矛盾的结论（逻辑悖论），数学史上发生的三次重大数学危机均是由于逻辑悖论的出现而引起的 。

“问题驱动”是数学学科发展的不竭动力和重要特征，逻辑悖论是推动数学取得创新发展的强大内在动力。“毕达哥拉斯悖论” 促成了公理几何与逻辑的诞生，“贝克莱悖论” 促成了分析基础理论的完善与集合论的创立，“罗素悖论”则促成了数理逻辑与一批现代数学的产生。

“随机过程悖论”的出现，也必将引发一场库恩（Kuhn）在《科学革命的结构》书中所描写的范式危机和范式转换，为中国的随机过程学科取得重大突破性发展、并进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。

参考：

 [1] 波利亚和他的随机游走定理

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1364508.html

 [2]归谬法证明波利亚随机游走定理不能成立

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1424606.html

[3] 偷换概念的《随机过程》

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1424101.html

[4] 高宏.随机游走定义的概念错误及纠正[J].数学学习与研究,2021(28):136-139.