真理和谬误是认识论中的一对范畴，真理是人们对客观事物及其规律的正确反映，谬误则是人们对客观事物及规律的歪曲反映。

从认识论的角度看，人类受客观条件和认识水平的限制，对物质世界的认识总是存在着历史局限性，导致人类建立的科学理论中不可避免的存在着谬误，因此，科学理论先天就具有产生谬误的可能性和必然性，谬误是科学发展过程中的一个重要的存在形态。人类对客观世界的认识过程，就是一个谬误不断产生并被克服的过程。

从《物理学》角度看，《随机过程》是一门研究质点随机运动现象及规律的数学理论，但是，《随机过程》教科书中出现了多个与客观实不符的谬误，“喝醉的酒鬼总能找到回家的路”便是其中之一。

一、随机游走问题

1905年，英国著名数学家、现代统计科学的创立者皮尔逊（Pearson）在《自然（Nature）》杂志上公开求解随机游走问题（Random Walk Problem）：如果一个醉汉走路时每步的方向完全随机，经过一段时间之后，在什么地方找到他的可能性最大？

二、随机游走定理

1921年，波利亚（Polya）发表了关于随机游走问题的研究论文，证明了“一维和二维简单随机游走是常返的”随机游走定理，表明从原点出发的醉汉最终一定能回到起点，从数学上证明了皮尔逊提出的随机游走问题。

随机游走定理被《数学之书（The Math Book）》列为数学发展史上最重要的250个里程碑式的重大发现。

日本著名数学家角谷静夫将随机游走定理形象地表述为：喝醉的酒鬼总能找到回家的路（A drunk man will eventually find his way home），因此随机游走定理也被称为酒鬼回家定理。

三、随机游走定理的逻辑检验

数学理论是借助于形式逻辑推理规则构建出的演绎逻辑系统，形式逻辑的无矛盾性是其重要特征。也就是说，数学理论的定义（基本假设）和结论之间有着内在的必然联系，不能出现相互矛盾的结论（逻辑悖论），在逻辑上是完备自洽的。

我们用中学生检查错题的特殊情形检验法，来检验随机游走定理是否正确。

矛盾的普遍性寓于特殊性之中，问题的特殊情况往往比一般情况更易解决，因此通过特殊值、特例或极端状态很容易快速检验出答案是否正确。

以X(n)表示质点（醉汉）在第n步时的位置（图1），根据随机游走定理，质点最终一定会返回原点，假设质点在第n步返回原点，此时X(n)=0，X(n)的方差为

D[X(n)]=D[0]=0

但是，根据随机游走定义，X(n)的方差

D[X(n)]=n

显然，质点在第n步返回原点时的方差与随机游走定义矛盾，证明随机游走定理为假，不能成立，因此喝醉的酒鬼不可能找到回家的路。

图1 随机游走定理的特殊值检验

 四、随机游走定理的实验检验

数学理论是反映现实世界数量关系和空间形式的系统化知识体系，它的最本质特征是必须正确地反映现实世界的客观规律。从数学理论推出的可检验结论应该与经验事实相符，通过实验检验方法可以判断随机游走定理是否与经验事实一致。

早在 1873 年，英国生物统计学家高尔顿（Galton）就专门设计了一个演示随机游走的实验装置（图2），俗称高尔顿板。

图2 高尔顿板在线演示软件界面

（点击图2，可观察高尔顿板实验过程）。

高尔顿板上的每一个圆点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子正中间。

从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小球，当小球向下降落过程中，碰到钉子后随机地向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。

小球在第n层时距高尔顿板中线的距离，就是该小球在第n步时的位移X(n)。

如果高尔顿板面积足够大，小球在下落过程中将不断向左或向右两个方向移动。

高尔顿板试验结果表明：一维简单对称随机游走的小球随步数n远离原点，随机游走定理与高尔顿板试验结果完全不符。

五、原因分析

根据随机过程定义，质点在第n步时的位置X(n)是样本函数，但是，随机游走定义和随机游走定理却违反同一律逻辑要求，将X(n)当作随机变量，从而产生了“混淆概念”的逻辑错误，导致出现了上述自相矛盾的方差逻辑悖论。

数学史上的三次重大数学危机均由逻辑悖论的发现而引起，消除逻辑悖论也导致了数学史上的三次重大数学突破。“毕达哥拉斯悖论”促成了公理几何与逻辑的诞生，“贝克莱悖论”促成了分析基础理论的完善与集合论的创立，“罗素悖论”则导致了数理逻辑与一批现代数学的产生，逻辑悖论是推动数学理论取得创新发展的强大内在动力。

参考：

波利亚和他的随机游走定理

随机游走定理与随机游走定义自相矛盾

“概念不清，只能胡说八道”