随机游走（Random Walk）是《随机过程》教科书中的一种基本随机过程。假设一个质点（醉汉）在数轴的整数点上做随机运动（图1），以X(n)表示质点在第n步时的位置，根据随机游走定义，X(n)的方差为

D[X(n)]=n

美籍匈牙利数学家波利亚（George Polya）在1921年证明了著名的随机游走定理：随机游走具有常返性，也就是说，从原点出发的质点最终一定会返回原点。日本著名数学家角谷静夫将随机游走定理形象地表述为：喝醉的酒鬼总能找到回家的路（A drunk man will eventually find his way home）。

假设随机游走的质点（醉汉）在第n步时返回原点，此时X(n)=0，我们可直接计算出X[n]的方差

D[X(n)]=D[0]=0

显然，从随机游走定理得出的方差D[X(n)]=0与随机游走定义给出的方差D[X(n)]=n自相矛盾。表明随机游走理论中包含逻辑悖论，随机游走定理不能成立。

图1 随机游走定理与随机游走定义自相矛盾

原因分析：

根据随机过程定义，质点在第n步时的位置X(n)是样本函数，但是，随机游走定义和随机游走定理却违反同一律逻辑要求，将X(n)当作随机变量，从而产生了“混淆概念”的逻辑错误，导致出现了上述自相矛盾的逻辑悖论。

数学史上的三次重大数学危机均由逻辑悖论的发现而引起，消除逻辑悖论也导致了数学史上的三次重大数学突破。“毕达哥拉斯悖论”促成了公理几何与逻辑的诞生，“贝克莱悖论”促成了分析基础理论的完善与集合论的创立，“罗素悖论”则导致了数理逻辑与一批现代数学的产生，逻辑悖论是推动数学理论取得创新发展的强大内在动力。

参考：

“概念不清，只能胡说八道”