“混淆概念”是指在同一数学思维过程中把两个完全不同的数学概念当作同一概念等同使用，或用一个完全不同的概念去代替原有概念进行推理和证明，因而产生的违反同一律的逻辑错误。

同一律是数学思维过程中，为了保证数学理论的确定性和无矛盾性而必须遵循的逻辑思维基本规律。如果在同一数学思维过程中出现 “混淆概念”的逻辑错误，通常会破坏数学理论的逻辑完备性和客观真理性，导致得出的结论在逻辑上不能自洽，或与经验事实不符。

“混淆概念”的逻辑错误一般是在不自觉、无意识的情况下产生的，如果是有意识地、自觉地混淆概念，就是诡辩。

一、数学史上最著名的“混淆概念”逻辑错误

数学史上最著名的“混淆概念”逻辑错误出现在牛顿创立的《微积分》理论中。牛顿首先假设质点位移x(t)的增量∆x≠0，然后在推理和证明过程中又随意令∆x=0，在《微积分》理论的推导过程中出现了多处违反同一律（混淆概念）的逻辑错误。

英国大主教贝克莱（Berkeley）强烈批评牛顿《微积分》有意识地混淆概念，是“分明的诡辩”，使牛顿《微积分》的逻辑完备性遭到严重质疑，导致当时的数学界产生了极大的思想混乱和精神恐慌，使数学家们陷入到极度不安的深渊之中，引发了一场持续150多年的“第二次数学危机”，《微积分》理论险被推翻。

整个18世纪，数学家们的首要任务就是消除牛顿《微积分》理论中“混淆概念”的逻辑错误，几乎每一位数学家都为此做出了巨大的努力。

后来柯西（Cauchy）等数学家将极限概念作为《微积分》的理论基础，才彻底消除了《微积分》中混淆概念的逻辑错误，解除了数学史上的第二次危机。

事实上，贝克莱并没有否认微积分结果的正确性，他反对的是《微积分》理论中“混淆概念”的逻辑错误，他指出：“逻辑错误也许能产生正确结果，但是并不会产生科学”。

二、《随机过程》混淆概念的逻辑错误分析

图1是随机过程定义示意图，可以看出，样本函数（Sample function）和随机变量（Random variable）是分别定义在时域T和样本空间Ω上的单值函数，是两个内涵与外延完全不同的数学概念。样本函数和随机变量描述的是完全不同的物理对象，样本函数用来描述单个质点的位移随时间变化过程，随机变量则用来描述质点集合（所有质点）在某一时刻（t=t₁）的空间位置分布状况。

图1 随机过程定义示意图

《随机过程》教科书在多个基本假设中出现了“混淆概念”逻辑错误，这里以维纳（Wiener）给出的布朗运动定义为例，说明并分析《随机过程》违反同一律的逻辑错误（图2）。

图2 混淆概念的布朗运动定义

在布朗运动定义中，被定义项“布朗粒子在t时刻的位移x(t)”无疑是时间t的函数（样本函数），定义项（3）进一步明确了“x(t)是t的连续函数”。但是，定义项（1）和定义项（2）却将被定义项样本函数x(t)偷偷替换为随机变量x(t)，改变了被定义项x(t)的内涵与外延。因此，布朗运动定义将随机变量和样本函数这两个完全不同的数学概念当作同一概念等同使用，产生了“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误。

布朗运动定义将随机变量和样本函数这两个不同的数学概念当作同一概念等同使用，产生了混淆概念（违反同一律）的逻辑错误，无形中将研究对象从一个布朗粒子改变为布朗粒子集合，因而在基本假设中只能将《物理学》描述大量布朗粒子在扩散过程中的浓度正态分布规律当作单个布朗粒子的位移变化规律，从根本上破坏了布朗运动理论的逻辑完备性和客观真理性，不仅导致《随机过程》布朗运动理论在逻辑上不能自洽，而且与《物理学》实验结果完全不符。

三、牛顿《微积分》和《随机过程》逻辑错误对比

牛顿《微积分》是研究现实世界确定性运动现象及规律的数学工具。

《随机过程》是研究现实世界随机性运动现象及规律的数学工具。

牛顿《微积分》没有保持质点位移x(t)增量∆x的同一性，将∆x≠0和∆x=0当作同一概念等同使用，产生了违反同一律（混淆概念）的逻辑错误。

《随机过程》没有保持质点位移x(t)的同一性，将随机变量x(t)和样本函数x(t)当作同一概念等同使用，产生了违反同一律（混淆概念）的逻辑错误。

牛顿《微积分》的逻辑错误破坏了《微积分》理论的逻辑完备性，但没有破坏《微积分》理论的客观真理性，《微积分》理论与经验事实相符。

《随机过程》的逻辑错误即破坏了《随机过程》理论的逻辑完备性，也破坏了《随机过程》理论的客观真理性。《随机过程》理论在逻辑上不能自洽，并且与《物理学》实验结果不符。

牛顿《微积分》的逻辑错误引发了一场持续150多年的“第二次数学危机”，《微积分》理论险被推翻，牛顿《微积分》的逻辑错误促成了极限理论的诞生和分析理论的完善。

《随机过程》的逻辑错误即将引发了一场持续多年的数学危机，《随机过程》教科书知识体系将发生重大范式转换。

表1 牛顿《微积分》与《随机过程》的逻辑错误对比

 四、结论

牛顿《微积分》“混淆概念”的逻辑错误虽然没有导致《微积分》理论与经验事实不符，但仍然引发了数学史上的第二次数学危机，致使《微积分》理论险被推翻；而《随机过程》 “混淆概念”的逻辑错误不仅导致《随机过程》布朗运动理论在逻辑上不能自洽，而且与《物理学》实验结果完全不符，因此必将引发一场影响深远的数学危机，《随机过程》教科书知识体系也将发生重大范式变革。令人遗憾的是，随机过程学科的众多学者竟然搞不清楚本学科的基本概念（随机过程定义），又缺乏最起码的逻辑思维能力，至今尚未发现《随机过程》教科书中“混淆概念”的逻辑错误。

参考：

布朗运动理论中的反常问题及原因分析（后印本）

随机过程中的随机变量概念错误及纠正（后印本）