数学以逻辑推理的严密性著称，严谨的逻辑性是数学区别于其它科学的最显著特点之一。但是，随机过程学科却违反逻辑推理基本规律同一律，没有保持布朗运动定义与随机过程定义的概念同一，出现了“混淆概念”的低级逻辑错误，不仅导致《随机过程》布朗运动理论在逻辑上不能自洽，而且与《物理学》实验结果完全不符。

一、随机过程定义中的随机变量和样本函数：

自然界的事物变化过程可以分成两大类：确定过程和随机过程。

确定过程具有确定性的变化规律，每次试验观察到的变化过程完全相同，所有试验结果可用同一个时间函数x(t)描述。

随机过程没有确定性的变化规律，观察n个随机运动的质点位移，会记录到n个不同的位移变化过程（图1），这n个位移变化过程要用n个不同的时间函数x₁(t)，x₂(t)，…，x_n(t)进行描述。

图1 随机过程定义中的随机变量和样本函数

《随机过程》教科书将随机过程试验的所有可能结果映射到样本空间Ω，然后用二元函数X(ω,t)来描述随机过程试验结果。

定义：随机过程X(ω,t)是定义在Ω×T上的二元函数。对于固定的ω，X(ω,t)是时间t的函数，称为样本函数或样本轨道，简记为x(t)；对于固定的t，X(ω,t)是样本点ω的函数，称为随机变量，简记为X(t)。

一个样本函数x(t)对应着随机试验中的一次“测量结果”，即一个质点的位移随时间变化过程。

随机变量X(t) 对应的是所有试验结果或所有样本函数x₁(t)，x₂(t)，…，x_n(t)在t时刻的取值，即所有质点在t时刻的空间位置分布状况。

因此，样本函数和随机变量不仅是两个定义域和值域完全不同的单值函数，而且也是两个内涵与外延完全不同的数学概念。

二、同一律

数学理论是从基本概念和基本假设出发，按照逻辑推理规则推导出的一系列命题和结论，从而构成具有一定逻辑结构的理论体系。

同一律（The Law Of Identity）是指数学家在运用概念、作出判断、进行推理和论证时，所使用的数学概念必须要与其自身始终保持同一，也就是说，无论一个数学概念被使用或重复多少次，这个数学概念的内涵和外延必须是确定的。

同一律可用公式表示为：

A=A

同一律是数学思维过程中必须要遵循的形式逻辑基本规律之一，同一律要求数学推理过程中所使用的概念必须具有确定性。

如果在同一数学思维过程中，用一个完全不同的概念去代替原有的概念进行推理和证明，就会违反同一律，犯“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误，导致推导出的结论与经验事实不符，或逻辑上不能自洽。

牛顿在创立《微积分》理论时，首先假设增量∆x≠0，然后在推理和证明过程中又令∆x=0，出现了明显违反同一律的逻辑错误。英国大主教贝克莱（Berkeley）强烈批评牛顿的《微积分》是“分明的诡辩”，《微积分》理论险被推翻，引发了数学史上持续150多年的第二次数学危机。事实上，贝克莱并没有否认微积分结果的正确性，他反对的是微积分背后的逻辑性，他说“逻辑错误也许能产生正确结果，但是并不会产生科学”。

图2 牛顿《微积分》中的逻辑错误

三、偷换概念的布朗运动定义：

图3为10个布朗粒子的位移观测结果，《随机过程》的研究对象为其中一个布朗粒子在t时刻的位移X(t)（图3中的黑色位移曲线）。

图3 偷换概念的布朗运动定义

根据图1所示的随机过程定义，一个布朗粒子在t时刻的位移X(t)是固定样本点ω时的随机过程X(ω,t)，因此，X(t)是随机过程定义中的一个样本函数。

但是，布朗运动定义没有保持与随机过程定义概念的同一，竟然将X(t)假设为服从(0，σ² t)正态分布的随机变量，不加说明地用随机变量代替样本函数进行推理和证明，无形中将研究对象从一个布朗粒子改变为布朗粒子集合，势必导致《随机过程》布朗运动理论在逻辑上不能自洽，与《物理学》实验结果完全不符。

四、结论

牛顿《微积分》的逻辑错误在于没有保持∆x≠0的同一性，在推导过程中随意令∆x=0，牛顿的逻辑错误虽然没有导致《微积分》理论与经验事实不符，但仍然引发了数学史上持续150多年的第二次数学危机；《随机过程》的逻辑错误在于没有保持样本函数X(t)的同一性，在布朗运动定义中用随机变量X(t)取代了样本函数X(t)，不仅导致《随机过程》布朗运动理论在逻辑上不能自洽，而且与《物理学》实验结果完全不符，因此必将引发一场影响深远的重大数学危机。令人遗憾的是，随机过程学科的专家学者们对本学科的基本概念极其不清，混淆了随机变量和样本函数之间的关系和区别，再加上没有起码的逻辑思维能力，导致《随机过程》教科书中违反同一律的低级逻辑错误至今无人发现。

参考：

布朗运动理论中的反常问题及原因分析（后印本）

随机过程中的随机变量概念错误及纠正（后印本）