根据爱因斯坦布朗运动基本假设和《物理学》实验规律：布朗运动的瞬时速度（导数）为白噪声，有

式中设x(t)为布朗粒子在t时刻的位移，n(t)为平均功率为N₀的白噪声，N₀的物理意义代表白噪声信号在单位电阻上产生的平均功率。

由傅里叶变换的微分特性，立即可得布朗运动位移x(t)的功率谱密度

P_x(ω)=N₀/ω²

式中ω为角频率。

因此，布朗运动位移x(t)的功率谱密度与频率的平方成反比，在工程技术领域，这种能量主要集中在低频段的随机信号被称为红噪声、布朗噪声或1/f²噪声。

图1为布朗运动位移（红噪声）和布朗运动瞬时速度（白噪声）的时域波形及功率谱密度。

图1 红噪声和白噪声的功率谱密度

白噪声的功率谱密度在整个频率轴上为常数，若通过音响设备将白噪声播放出来，人类可以感受到20-20000Hz听觉范围内的白噪声信号。在日常生活中，电视机无信号时的沙沙声和收音机无电台时的背景噪声都是白噪声。

白噪声具有一定的声音治疗作用，可用于缓解耳鸣，并被广泛应用于治疗失眠、安抚新生儿、治疗精神分散疾病等。

与白噪音相比，红噪声听起来具有较为“柔和”的音质，类似于自然界的瀑布声、大雨声或大海潮汐声。研究证明，红噪声与睡眠中的脑波律动接近，有助于放松和入睡，对长期失眠的人群有较好的治愈作用。

点击图2所示的噪声发生器用户界面，再点击播放键，可以分别感受白噪声、粉红噪声和红噪声（布朗噪声）的不同区别及效果。

图2 噪声发生器

参考：

爱因斯坦布朗运动基本假设的数学表述

布朗运动的频域特性