根据爱因斯坦布朗运动基本假设和《物理学》实验规律：布朗运动的瞬时速度（导数）为白噪声，有

式中x(t)为布朗粒子在t时刻的位移，n(t)为白噪声。

设x(0)=0，则有

即x(t)为白噪声n(t)在[0，t]区间上的积分。

因此在工程技术领域，就将布朗运动x(t)定义为白噪声n(t)通过积分器的输出，并用图1所示的积分系统来实现布朗运动的仿真及实验研究。

图1 实现布朗运动的积分器

由于白噪声n(t)的功率谱密度为常数，因此白噪声n(t)通过图1所示的积分器后，系统输出x(t)的频域特性就完全取决于积分器传递函数H(jω)特性，因此，可把布朗运动位移x(t)随机特性的研究转变为对积分器确定性频域特性H(jω)的研究。

积分器具有低通滤波特性，白噪声中的低频分量被放大，高频分量被衰减，白噪声通过积分器后成为能量集中在低频段的红噪声（布朗噪声或1/f²噪声）。

另外，积分器具有记忆性，积分器当前时刻的输出x(t)不仅与当前时刻的输入n(t)有关，而且与之前所有时刻的输入n(t)有关，表明布朗运动位移x(t)具有很强的“记忆性”和“相关性”。

参考：

爱因斯坦布朗运动基本假设的数学表述