随机游走（Random Walk）是《随机过程》教科书中的一种基本随机过程，许多重要的随机过程都可由它派生出来，其理论不仅在《随机过程》中占有相当重要的地位，而且也是自然科学、工程技术和社会科学研究动态随机现象的重要数学工具。

一、抛硬币试验中的数量关系及统计规律

假设第  次抛出硬币后的结果为  ，若硬币正面向上，令  ；若硬币反面向上，令  ，则连续  次抛硬币试验观察结果就构成一个按时间顺序形成的随机时间序列

简记为  。

《随机过程》教科书中的随机游走就是基于上述随机时间序列  定义的，因此，随机时间序列  的数量关系及内在规律是建立《随机过程》随机游走理论的逻辑基础。

1、随机时间序列  的概率

假设随机时间序列中有  个序列值等于  ，  个序列值等于  ，则硬币正面向上事件和反面向上事件出现的概率分别为

随机时间序列中的单个序列值虽然完全随机、毫无规律、无法预测，但是所有序列值具有确定性的统计规律。

2、随机时间序列的均值

式中  和  为硬币正面向上事件和反面向上事件出现的概率。

均值  反映了随机时间序列中的确定性成分，其物理意义为随机信号中的直流分量。

从随机时间序列的均值  计算公式可以看出，概率  和  反映的是随机时间序列的均值，即中的确定性成分。

3、随机时间序列的方差

方差  反映了随机时间序列中的随机成分偏离均值的程度，其物理意义为随机信号中交流分量的平均功率。

4、随机时间序列的自相关函数

式中  为单位冲击序列。

随机时间序列的自相关函数  反映了不同时刻序列值的关联性。  表明，随机时间序列中的所有序列值  都互不相关，不可预测，随机时间序列没有记忆性。

5、随机时间序列的功率谱密度

由维纳-欣钦定理，平稳随机信号的自相关函数与其功率谱密度之间构成一对傅立叶变换，可得随机时间序列的功率谱密度函数

式中  为角频率。

表明的功率谱密度在整个频率轴  上为常数，为白噪声序列。

二、《随机过程》随机游走定义及其概率假设错误

1、随机游走定义

定义：设独立同分布  ，，  ，定义

为从原点出发的简单对称随机游走，  的物理意义为质点移动  步后距原点的距离。

2、概率假设错误

在抛硬币试验中，虽然每次抛出硬币后的结果  完全随机、毫无规律、无法预测，但是随着抛硬币次数的逐渐增大，所有试验结果就会呈现出50%正面向上和50%反面向上的确定性统计分布规律。

但是，《随机过程》教科书却假设随机时间序列中的每个序列值  都具有与整个序列相同的统计规律，即。

由的概率假设，可得出  的数学期望和方差

实际的质点每次移动时，只能是向右移动一步，或是向左移动一步。

当质点向右移动一步时，  ，其数学期望和方差为

当质点向左移动一步时，  ，其数学期望和方差为

因此，无论随机游走的质点如何移动， ，方差  。

显然，从的概率假设得出的和与真实情况矛盾，因此，随机游走定义的概率假设不能成立。

三、重新定义随机游走

根据抛硬币试验中的数量关系及统计规律，可给出正确的随机游走定义。

定义：若时间序列  的一阶差分  ，为定义在 上的零均值不相关白噪声序列，则称  为随机游走。

四、结论

《随机过程》教科书随机游走理论完全建立在错误的概率假设基础上，因此出现了一系列理论与经验事实不符和逻辑上不能自洽等反常问题。《随机过程》随机游走理论将面临库恩在《科学革命的结构》书中所描写的重大范式转换，《随机过程》教科书中原有的随机游走理论将会被新理论所取代，为中国的随机过程学科进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。

参考：

随机游走定义的逻辑悖论

随机游走常返性逻辑悖论

随机游走定义的概念错误及纠正（后印本）