在物理学近400年的发展历史中，物理学家一直在努力将各种不同的自然现象统一到一个物理模型或一个理论框架中。物理学发展的终极目标就是从统一的角度来理解物质世界和运动规律之间的内在联系。

物理学自17世纪成为独立的自然科学以来，共进行了5次大的统一。每当物理学家发现两种看似完全不同、甚至完全对立的事物，其实只是同一事物的两面时，都会改变了人们的思维方式，使人类对自然界及其运动规律的认识产生巨大的飞跃。

牛顿力学实现了地面运动规律和天上运动规律的统一；迈尔、焦耳和卡诺等人建立的热力学实现了热运动和机械运动的统一；爱因斯坦狭义相对论不仅实现了低速运动规律和高速运动规律的统一，而且也统一了时间和空间，以及质量和能量；麦克斯韦建立的电磁场理论则将电学、磁学、光学统一起来；普朗克等一大批物理学家共同创立的量子力学实现了连续性与不连续性的统一。

人类在自然界和社会实践活动中所遇到的各种运动现象可分为两大类，一类是确定性现象，另一类为随机性现象。

物理学已实现的5次统一均为各种确定性现象之间的统一，尚未实现确定运动和随机运动之间的统一。

布朗运动方程则实现了随机运动和确定性运动的统一，不仅可描述和揭示布朗粒子在微观尺度下的随机运动现象及规律，而且可描述和揭示布朗粒子在宏观尺度下的确定运动现象及规律。

设x(t)为布朗粒子在t时刻的位移，x(0)=0，则布朗运动方程为

式中n(t)为定义在[-∞，+∞]上的零均值不相关白噪声函数。

从布朗运动方程可以看出，由于仅在区间[0，t]对定义在[-∞，+∞]上的白噪声n(t)进行积分，因此布朗运动方程为非线性时变数学模型。

将布朗运动方程变换为牛顿质点运动学形式的位移公式，有

式中V(t)为布朗运动在[0，t]区间上的平均速度。

上式表明，布朗布朗运动的平均速度V(t)为白噪声n(t)在[0，t]区间上的算数平均值。

根据概率论大数定律，算数平均值V(t)反映了白噪声n(t)在[0，t]区间中的确定性成分，当t充分大时，V(t)收敛于一个常数μ。

平均速度V(t)也随时间t随机变化，其方差为

式中N₀为白噪声n(t)的平均功率或时间方差。

方差σ²代表了平均速度V(t)偏离常数μ的波动程度。

由于方差σ²与时间t成反比，因此在微观尺度下（t较小时），方差σ²较大，V(t)波动剧烈，布朗运动位移x(t)表现为随机运动。

在宏观观尺度下（t充分大时），方差σ²趋于零，V(t)收敛为常数μ，布朗运动位移x(t)表现为匀速直线运动，其位移曲线成为一条斜率为μ的直线（图1）。

图1 布朗粒子位移曲线

图2为根据爱因斯坦布朗运动扩散方程模拟出的布朗粒子宏观运动过程，显然，所有从原点出发的布朗粒子均以匀速直线运动的方式向远离原点的方向扩散。

图2 宏观尺度下的布朗运动 

布朗运动方程将布朗粒子的微观随机运动和宏观匀速直线运动统一到同一个非线性时变数学模型中，揭示出了布朗运动的随机性与确定性、微观与宏观之间的内在联系，证明了在微观尺度上表现出不确定性和不可预测的随机运动，在宏观尺度上具有总体的确定性和稳定性，同时也验证了一个哲学命题：随机性和确定性是对立统一的关系，随机性是确定性的表现形式，确定性存在于随机性之中。

参考：

布朗粒子的运动学方程

布朗运动平均速度

布朗运动位移公式

宏观尺度下的布朗运动