设x(t)为布朗粒子在t时刻的位移， x(0)=0，由布朗运动定律，有

式中n(t)为定义在[-∞，+∞]上的零均值不相关白噪声（布朗粒子瞬时速度）。

白噪声n(t)的自相关函数为：

式中τ为时间间隔，N₀为正实常数，δ(τ)为单位冲击函数，N₀的物理意义代表白噪声信号在单位电阻上产生的平均功率

由布朗运动位移x(t)和白噪声n(t)的自相关函数R_n(τ)，可推导出x(t)的自相关函数

式中τ为时间间隔。

图1为白噪声n(t)的自相关函数R_n(τ)和布朗运动位移x(t)的自相关函数R_x(τ)图形。

图1 布朗运动自相关函数

从图1（a）可以看出，布朗运动的瞬时速度n(t)仅在时间间隔τ=0时才有相关性，只要n(t)两个取值之间的时间间隔不为零，就互不相关，因此，布朗运动的瞬时速度不可预测。

图1（b）表明，布朗运动位移x(t)的自相关函数R_x(τ)在很宽的范围内不为零，一是说明不同时刻的位移x(t)具有相关性，布朗运动未来的位移与历史位移之间存在某种程度的依赖关系；二是表明x(t)随时间缓慢波动，存在较大的惯性，因此，布朗运动的历史位移中存在可以识别和利用的规律，布朗运动的位移具有可预测性。