图1为一个布朗粒子的位移曲线和瞬时速度曲线。

图1 布朗运动位移曲线和瞬时速度曲线

设x(t)为布朗粒子在t时刻的位移，x(0)=0，则布朗粒子的运动学方程为

式中n(t)为定义在[-∞，+∞]上的零均值不相关白噪声函数。

布朗粒子在[0，t]区间的平均速度为

上式表明，布朗粒子的平均速度V(t)为白噪声n(t)在[0，t]区间上的算数平均值，其物理意义为无限长的白噪声信号n(t)在[0，t]有限区间被截断后所产生的直流分量。

白噪声在[-∞，+∞]无限区间的均值为零，但是在[0，t]区间被截断后，会因频谱泄露效应而产生直流分量。

事实上，白噪声的功率谱密度在整个频域内为常量，表示白噪声信号中包含有所有频率的谐波分量。对于周期远远大于t的谐波分量，其波形在[0，t] 区间就相当于直流分量。

根据概率论大数定律，算数平均值V(t)反映了白噪声n(t)在[0，t]区间中的确定性成分，当t充分大时，V(t)收敛于一个接近白噪声均值的常数。

平均速度V(t)也随时间t随机变化，其方差为

式中N₀为白噪声n(t)的平均功率。

方差s²代表了平均速度V(t)的波动程度。s²与时间t成反比，当t较小时，V(t)波动剧烈；当t逐渐变大时，V(t)的波动幅度逐渐变小；当t充分大时，s²趋于零，V(t)收敛为一个常数,表示布朗运动在宏观尺度下表现为确定性的匀速直线运动。

图2为布朗运动平均速度V(t)随时间t的变化曲线。

图2 布朗运动平均速度曲线

参考：

布朗运动定律

布朗粒子的运动学方程