运动学方程是指质点的空间位置坐标随时间变化的函数表达式。

图1为一个布朗粒子的位移曲线和瞬时速度曲线。

图1 布朗运动位移曲线和瞬时速度曲线

设x(t)为布朗粒子在t时刻的位移，根据布朗运动定律，布朗粒子在t时刻的瞬时速度v(t)可表示为：

式中n(t)为定义在[-∞，+∞]上的零均值不相关白噪声函数。

设x(0)=0，由上式可直接写出布朗粒子的运动学方程

式中白噪声n(t)的定义域为[-∞，+∞]。

从布朗粒子的运动学方程可以看出，由于仅在区间[0，t]对定义在[-∞，+∞]上的白噪声n(t)进行积分，因此布朗粒子运动学方程为非线性时变数学模型。

由布朗粒子运动学方程，不仅可研究布朗运动的特征及规律，而且还能预测布朗粒子随机运动的未来发展趋势和变化结果。

参考：

布朗运动定律