一、布朗运动扩散方程及其解析解

对于浓度随时间t和距离x变化的非稳态扩散过程，遵循Fick第二扩散定律给出的扩散微分方程：

式中C(x,t)为扩散物质的浓度（单位体积中的粒子数），D为扩散系数。

扩散方程的物理意义是：扩散中浓度变化率（dC/dt）与沿着扩散方向上的浓度梯度（dC/dx）随扩散距离x的变化率成正比。

上述扩散方程的解析解为

式中C₀为初始浓度，即扩散物质的浓度C(x,t)服从参数为(0，2Dt)的正态分布。

图1给出了不同时刻t时，浓度C(x,t)与距离x的关系曲线。

图1 浓度C(x,t)正态分布曲线

1905年，爱因斯坦根据“同一布朗粒子在不同时间间隔中的运动相互独立”和“不同布朗粒子之间的运动互不相关”的假设，推导出了布朗运动概率密度函数方程

式中D为扩散系数。

显然，布朗运动概率密度函数方程就是Fick扩散方程，因此爱因斯坦根据扩散方程的解析解直接给出了归一化的布朗运动概率密度函数

即大量布朗粒子在t时刻的空间位置服从(0，2Dt)正态分布。

图2为布朗粒子位移曲线及不同时刻的概率密度函数曲线

图2 布朗运动位移曲线及概率密度函数曲线

布朗运动概率密度函数f(x,t)的物理意义就是布朗粒子浓度C(x,t)，描述的是大量布朗粒子的集体行为。

二、维纳过程定义及其数学抽象错误

1923年，维纳为了研究“一个布朗粒子所走曲线的数学性质”，将爱因斯坦的布朗运动物理模型抽象为数学模型，给出了布朗运动的数学定义。

设x(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移，x(0)=0，定义

（1）x(t)为平稳独立增量过程；

（2）x(t)～N(0，σ² t)，其中σ>0为常数；

（3）x(t)是t的连续函数。

则称x(t)是参数为σ²的布朗运动，或维纳过程。

爱因斯坦布朗运动理论中的概率密度函数f(x,t)实质上就是布朗粒子的浓度C(x,t)分布，描述的是大量布朗粒子的集体行为。

维纳过程定义认错了对象，弄错了事实，竟然张冠李戴，将所有布朗粒子的浓度分布规律抽象为单个布朗粒子的位移变化规律，这就如同用描述大量分子热运动集体行为的温度来度量一个分子的动能一样荒谬。