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确定与随机：物理学的第六次综合与统一
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摘要：揭示质点确定性运动规律的牛顿力学和揭示质点随机性运动规律的爱因斯坦布朗运动理论分别将质点位移与时间之间的数量关系抽象为时间函数和随机变量，而时间函数和随机变量是两个定义域和值域完全不同的单值函数，因此要完成确定性运动规律和随机性运动规律的综合与统一在理论上是不可能的。本文采用牛顿力学研究方法，将随机运动的质点位移与时间之间的数量关系还原为时间函数，提出了“瞬时速度等于白噪声”的质点随机运动定律，建立了可同时描述布朗运动和匀速直线运动的非线性时变运动方程和质点随机运动学，证明了质点运动的随机性和确定性完全取决于观测尺度，实现了确定性运动规律和随机性运动规律的综合统一与相互转换。
一、引言
物理学是研究物质及其运动规律的基础科学，其研究内容包括各种物质运动的形式、特征及规律，以及不同运动形式之间的相互转化。自然界的一切事物、现象和过程，都有统一的物质起源和发生学上的联系，即无限多样性的事物发展和演变，都伴随着相互联系和相互转换。因此，寻求物理学知识的综合与统一，从统一的角度来理解物质世界和运动规律之间存在的内在联系，就成为物理学发展的终极目标。一部物理学的发展史，可以说是一部不断追求“综合与统一”的历史。物理学史上发生过五次全面而大规模的、堪称里程碑式的综合与统一，每一次综合与统一都对已有研究成果和理论进行归纳和演绎，使得原来零碎的、分散的、孤立的、局部的，甚至表面上看上去相互对立矛盾的现象和规律得以统一，构成全新的理论体系，改变了人类的思维方式和世界观，把人类对客观世界及运动规律的认识提高到一个崭新的水平，从而引发了物理学科学革命。从方法论和世界观的角度看，物理学史上的五次综合与统一均受 “物质世界统一性”哲学原理的深刻影响，然后又以无可辩驳的事实和逻辑证明了“物质世界统一性”的正确性。
时间和空间是运动着的物质的存在形式，也是人类认识物质运动的最基本范畴。经典物理学理论主要从几何的角度（不涉及物体本身的物理性质和加在物体上的力）描述和研究质点空间位置随时间的变化规律。牛顿力学实现了地面运动规律和天上运动规律的综合与统一；爱因斯坦狭义相对论彻底否定了牛顿的绝对时空观，不仅实现了低速运动规律和高速运动规律的综合与统一，而且也统一了时间和空间，以及质量和能量。普朗克等一大批物理学家共同创立的量子力学则颠覆了经典物理学中物理量连续变化的观念，实现了连续性与不连续性的综合与统一。从质点运动的形式看，描述质点确定性运动规律的牛顿力学和描述质点随机运动规律的爱因斯坦布朗运动理论至今尚未获得统一。本文提出了“瞬时速度等于白噪声”的质点随机运动定律，建立了可同时描述质点随机性运动和确定性运动现象的非线性质点随机运动学，实现了确定性运动规律和随机性运动规律的综合统一与相互转换。
二、物理学史上的五次综合与统一
物理学自17世纪成为独立的自然科学以来，物理学家一直在努力将各种不同的自然现象统一到一个物理模型或一个理论框架中。在物理学近400年的发展历史中，共进行了5次大的综合与统一[1]，每次统一都包容了相应历史时期内的几乎所有的观察、实验事实和理论研究成果。每当物理学家发现两种看似完全不同、甚至完全对立的事物，其实只是同一事物的两面时，都会改变了人们的思维方式，使人类对自然界及其运动规律的认识产生巨大的飞跃。
1、天上力学和地面力学的综合与统一
1687年，牛顿出版了《自然哲学的数学原理》，在哥白尼、伽里略、开普勒、惠更斯等科学家的研究基础上，提出了牛顿三大定律和万有引力定律，建立了经典力学体系，从而把地面上的物体运动和天体运动统一起来，揭示出了天上地下一切物体的普遍运动规律，实现了物理学史上的第一次综合与统一。
经典力学体系的建立也是科学形态上的重要变革，标志着近代自然科学理论的诞生。经典力学体系成为其它各门自然科学的典范，对科学发展的进程、人类生产生活和思维方式产生了及其深刻的影响。
2、热运动和机械运动的综合与统一
18世纪末、19世纪初，为了提高蒸汽机的效率，促使人们把力学与热学结合起来，对热运动与机械运动的相互关系以及能量转换规律进行研究。经过迈尔、焦耳、卡诺、克劳修斯等人的研究，发现了能量守恒与转化定律，并把热运动的宏观表现与微观机制统一起来，建立了经典热力学与经典统计力学。能量守恒与转化定律生动地证明了自然界各种物质运动形式不仅具有多样性，而且是相互联系的，具有统一性，物质能量能够从一种形式转化为另外一种形式，实现了物理学史上的第二次综合与统一。
3、电、磁和光现象的综合与统一
人类对电、磁和光现象的认识有悠久的历史，但在19世纪前，人们一直把电、磁和光现象当作独立的现象。1873年，麦克斯韦在库仑、奥斯特、安培和法拉第等物理学家研究的基础上，建立了经典电磁理论，揭示了电、磁、光的统一性，并预言了电磁波的存在，实现了物理学史上的第三次综合与统一。
4、低速运动和高速运动的综合与统一
1905年之前，电磁学的很多实验现象用经典力学中的物理观念难于解释。爱因斯坦指出经典力学中的绝对空间和绝对时间的概念是想象中虚构的概念，并不是直接从观察和实验中得来的。爱因斯坦将原来在经典物理学框架内看似互相矛盾的相对性原理和光速不变原理结合在一起，创立了狭义相对论。
在经典物理学中，时间和空间彼此孤立，互不联系，而且不会受到物体运动状态的影响。狭义相对论则认为时间和空间都是相对的概念，时间尺度的变化必然引起空间尺度的变化，时间和空间随物质运动而变化。狭义相对论虽然彻底否定了牛顿的绝对时空观，但是并没有与牛顿力学完全割裂，当物体运动速度远低于光速时，狭义相对论的结论和牛顿力学基本一致。狭义相对论不仅统一了物体的低速运动规律和高速运动规律，而且还统一了质量与能量，为原子能的开发利用奠定了理论基础。
5、连续性和不连续性的综合与统一
20世纪初，经典物理学在解释黑体辐射规律时遇到困境，普朗克为了解决这一问题，提出了能量不连续或分立的量子理论，与经典物理学的连续性产生了尖锐的矛盾。1905年，爱因斯坦运用普朗克的不连续性概念成功地解释了包括广电效应在内的一系列光的产生与转化问题，而且首次提出了光既有波动性，又有粒子性的观点。随后海森堡、狄拉克、玻恩等人运用代数方法，创建了描述波粒二象性不连续性一面的的矩阵力学，薛定愕等人又运用微分方程方法创建了描述波粒二象性连续性一面的波动力学。不久薛定愕用数学方法证明，这两种形式殊异的理论不仅是统一的，而且完全等价，可以互相变换，这两种理论后来被通称为量子力学，从根本上改变人类对微观物质结构及其相互作用的认识。
三、确定性与随机性
人类在自然界和社会实践活动中所遇到的各种客观事物变化一般表现为两大类现象，一类是确定性现象，另一类为随机性现象。
确定性现象是指在一定条件下必然会发生的现象，确定性现象一般可用确定性的数学模型进行描述。牛顿力学和爱因斯坦狭义相对论均以质点的确定性运动为研究对象，只要知道质点运动的初始条件和边界条件，就能确定该质点的过去，现在和未来，因此，牛顿力学和爱因斯坦狭义相对论也被称为“确定性理论”。
随机性现象的变化往往没有规律，下一时刻变化的方向及大小完全无法预测，因而也无法用确定性的数学模型进行描述，如气体中的分子运动，电子设备中的热噪声和股票市场中的价格波动等现象。
宏观物体内部包含着大量随机运动的微观粒子，要研究其中每一个粒子在每一时刻的运动状态实际上办不到。但是以大量微观粒子组成的宏观系统为研究对象时，其宏观性质如温度、压强、体积等可观测物理量是微观物理量的统计平均结果，遵循统计平均规律，可用数学中的概率论和统计模型进行描述和分析。
在客观世界中，确定性现象和随机性现象并不是截然分开的，很多事物变化从微观来看是随机的，但从宏观来看却有确定性的变化规律。例如从微观看热传导过程是由分子的随机运动引起的，需用统计方法及数学模型进行描述，但其热量从高处向温度低处传导的宏观效果，则可用一个确定性的微分方程进行描述。
液体中悬浮微粒的扩散过程也是一个确定性与随机性统一的物理现象。观察一小滴墨水滴入纯净水后的扩散过程。用显微镜观察，悬浮在水中的碳粒纷纷在做随机性的布朗运动；用肉眼观察，墨水中的大量碳粒分别以不同的速度，以匀速直线运动的方式从高浓度区域向低浓度区域做确定性转移。但是，现有的物理学理论还无法把一个悬浮微粒在扩散过程中呈现出的宏观确定运动规律和微观随机运动规律统一到一个数学模型中。
在现有的物理学理论中，质点的确定性运动规律由牛顿力学进行描述，质点的随机运动规律由爱因斯坦布朗运动理论进行描述。但是牛顿和爱因斯坦分别将质点位移与时间之间的数量关系抽象为时间函数和随机变量，由于时间函数和随机变量在数学上不仅是两个定义域和值域不同的单值函数，而且也是两个内涵与外延不同的基本概念，因此，牛顿力学和爱因斯坦布朗运动理论是建立在两种不同数学结构和两种不同数学概念基础上的两种知识体系，在理论上根本不可能完成综合与统一。
四、经典布朗运动理论
1905年，爱因斯坦发表了《关于热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》论文，认为布朗粒子的不规则运动是由于受到大量液体分子的连续随机高速碰撞造成的，并根据扩散微分方程推导出了一个布朗粒子在t时刻位置x(t)的概率密度分布函数：
（1）
式中D为扩散系数。
式（1）表明，布朗粒子在t时刻的位移x(t)服从参数为（0，2Dt）的正态分布。爱因斯坦利用正态分布的方差2Dt来计算一个布朗粒子在x轴方向上平均经历的位移，给出了著名的爱因斯坦位移公式[2]
（2）
爱因斯坦得出的“布朗粒子平均位移与时间的平方根成正比”结论，与牛顿力学质点位移与时间成正比的结论不一致，导致人们认为随机运动和确定运动是两种不同的机械运动[3]。
式（1）是含有扩散系数D的物理模型，维纳从随机过程的角度将其抽象为数学模型，并给出了布朗运动的数学定义。
设x(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移，x(0)=0，定义
（1）x(t)为平稳独立增量过程；
（2）x(t)～N(0，σ2t)，其中σ>0为常数；
（3）x(t)关于t是连续函数。
则称x(t)是参数为σ2的布朗运动，或维纳过程。
由布朗运动或维纳过程定义，可推导出布朗运动具有如下几个基本性质：
（1）布朗粒子在t时刻的位移x(t)服从参数为（0，σ2）的正态分布；
（2）布朗粒子在t时刻的位移x(t)与t的平方根成正比；
（3）布朗粒子的瞬时速度无穷大，或路径处处不可导；
（4）一维和二维布朗运动具有常返性；
（5）布朗运动为马尔可夫过程。
爱因斯坦在布朗运动研究过程中创立的概率研究方法，为统计热力学和随机过程理论的建立和发展开辟了道路[4]。
五、反常问题及原因分析
物理学作为一门实验科学，其结论和预言必须要与经验事实相一致，而且在逻辑上能够自洽，不应出现自相矛盾的命题而产生逻辑悖论。但是，经典布朗运动理论恰恰出现了理论与经验事实不符和内部存在逻辑悖论等突出的反常问题。
1、位移正态分布与经验事实不符
爱因斯坦布朗运动理论的一个重要结论，就是布朗粒子的位移x(t)服从（0，σ2t）正态分布。根据正态分布的性质，布朗粒子位移曲线x(t)应具有如下两个正态分布特性：
（1）对称性。绝对值相等的正、负位移出现的次数大致相等。
（2）集中性。绝对值小的位移出现频率高，绝对值大的位移出现频率低。
图1为一个布朗粒子的位移曲线，布朗粒子随时间向远离原点的方向运动，其位移x(t)显然不具有正态分布的对称性和集中性。
图1 布朗粒子位移曲线
图2为1000个从原点出发的布朗粒子位移曲线。每个布朗粒子都在随时间不断远离原点，这1000条位移曲线均不具有正态分布的对称性和集中性。但是，如果在任意时刻t观察这1000个布朗粒子的空间位置分布状态，恰好服从参数为（0，σ2t）的正态分布。事实上，爱因斯坦布朗运动理论中的正态分布性质描述的就是这一统计规律。
图2 布朗粒子（1000个）位移曲线
在爱因斯坦论文的启示下，法国物理学家佩兰从1908年开始进行布朗运动实验研究。佩兰在实验中用显微镜观测了 200多颗藤黄粒子在不同时刻的位移数据，并计算出这200多颗藤黄粒子在不同时刻的均值和方差。实验结果表明：这200多颗藤黄粒子在不同时刻的空间位置服从均值为零、方差与时间成正比的正态分布，与爱因斯坦布朗运动理论描述的统计规律完全一致。
佩兰的布朗运动实验结果不仅证实了爱因斯坦布朗运动理论的正态分布结论，而且在不同实验条件下测得了高度一致的阿伏伽德罗常数，第一次从实验上直接证明了原子的存在，佩兰因此于1926年获得了诺贝尔物理学奖。
2005年，在爱因斯坦布朗运动研究论文发表100周年之际，哈佛大学的三位科学家使用100倍三目显微镜、CCD数字照相机和计算机组成的测量系统，重复了佩兰1908年的布朗运动实验[5]。实验中的悬浮微粒是由聚苯乙烯材料制成的、直径为一微米的球体，用计算机图像测量软件实时跟踪200个小球的位移，并计算这200小球在不同时刻的均值与方差，用现代科学仪器和实验手段再次证实了大量布朗粒子的空间位置服从（0，σ2t）正态分布的统计规律。
2、瞬时速度无穷大与物理学实验结果不符
爱因斯坦使用正态分布的标准差来度量单个布朗粒子的位移，得出了布朗粒子位移与时间的平方根成正比的性质，并由此推导出了布朗粒子瞬时速度无穷大和不可测量的结论[4]。维纳则根据爱因斯坦布朗粒子位移与时间的平方根成正比的结论，从数学上证明了“布朗运动路径处处不可导”的著名论断。
2010年，美国得克萨斯大学的李统藏成功地利用激光光镊技术首次实验测量到了布朗粒子的瞬时速度[6]，实验结果表明，布朗粒子的瞬时速度是RMS（Root Mean Square）均方根为0.422mm/s 的零均值白噪声，表明布朗运动的瞬时速度（导数）不仅存在，而且可观测。
事实上，根据爱因斯坦“同一个布朗粒子在不同微小时间间隔中的运动相互独立”假设，直接可以得出布朗粒子瞬时速度为白噪声的结论。
3、常返性逻辑悖论
常返性是一个数学术语，它表示从原点出发的布朗粒子未来返回原点无穷多次的概率等于1，也就是说，存在任意大的时刻t，布朗粒子一定能回到起点，使得x(t)=0[7]。
假设布朗粒子在未来某一时刻t返回原点，则有x(t)=0，因此有D[x(t)]=0。
根据布朗粒子位移x(t)服从（0，σ2t）正态分布的性质，D[x(t)]=σ2t，当t >0时，D[x(t)]≠0，表明布朗运动的常返性与正态分布性质自相矛盾，在逻辑上不能自洽。
4、马尔可夫过程逻辑悖论
马尔可夫过程是是一种具有“无后效性”或“无记忆性”的随机过程，即在已知“现在”状态的条件下，马尔可夫过程“未来”的状态与“过去”的状态无关。
布朗运动的“常返性”表示布朗粒子在未来返回原点无穷多次的概率为1，这表示布朗粒子不仅对原点具有很强的记忆性，而且其“未来”的状态与“过去”的状态有关，与马尔可夫过程的“无后效性”和“无记忆性”相互矛盾，表明布朗运动理论内部出现逻辑悖论。
5、反常问题原因分析
观察一个质点在x轴上的位置变化，无论质点做确定性运动还是随机性运动，在每一个确定的时刻t，都有唯一一个确定的位置x(t)与时间t “一一对应”，因此，质点位移x(t)与时间t之间的数量关系始终为函数关系。
牛顿将质点在t时刻的位移x(t)抽象为时间函数，而爱因斯坦和维纳却将质点在t时刻的位移x(t)抽象为随机变量，虽然牛顿力学和经典布朗运动理论的研究对象均为一个质点，但是它们却将同一物理研究对象抽象为两个内涵与外延完全不同的数学概念。
牛顿力学的时间函数x(t)与布朗运动理论的随机变量x(t)虽然数学符号完全相同，但它们在数学上是两个定义域和值域完全不同的单值函数（表1）。时间函数x(t)是对单个质点位移与时间之间数量关系的数学抽象，而随机变量x(t)则是对大量质点在某一时刻空间位置分布状态的数学抽象。
爱因斯坦和维纳在研究布朗运动规律时，随机过程理论尚未建立，因此直接将研究随机现象统计规律的概率分析方法用来研究单个布朗粒子的随机运动规律。从随机过程和随机变量的定义看，爱因斯坦和维纳将质点位移与时间之间的数量关系错误地抽象为随机变量，混淆了时间函数和随机变量的内涵与外延，无形中导致物理研究对象从单个质点改变为质点集合，因而只能用刻画大量质点集体行为的正态分布来描述单个质点的个体行为，势必会出现上述一系列反常问题。
反常问题通常是科学研究的逻辑起点，尤其是逻辑悖论的出现，则预示着科学理论中存在威胁科学理论基础的深层矛盾，迫使人们改变原有理论的基本概念、研究方法或逻辑结构，对原有理论进行重大范式转换，从根本上重新建立新的科学理论，使科学知识体系发生根本性的变革。
六、质点随机运动学
质点随机运动学纠正了爱因斯坦和维纳将单个布朗粒子位移与时间之间的数量关系抽象为随机变量的研究方法错误，将质点位移与与时间之间的数量关系还原为时间函数。
质点随机运动学将质点随机运动划分为位移随机运动、速度随机运动和加速度随机运动三种类型[8]，由于液体中悬浮微粒的布朗运动、光纤陀螺中的随机游走误差和股票市场中的价格波动等动态随机现象均属速度随机运动，因此人们通常所说的随机运动或随机过程是指速度随机运动。
1、运动定律
定律：质点（布朗粒子）瞬时速度等于白噪声。
设x(t)为质点在t时刻位移，v(t)为质点在t时刻的瞬时速度，则有
（3）
式中n(t)为白噪声函数。
白噪声n(t)在区间[-∞，+∞]上的均值为零，其自相关函数Rn(τ)和功率谱密度Sn(ω)分别为
(4)
(5)
式中τ为时间间隔，N0为正实常数，δ(τ)为单位冲击函数。
式（4）表明，布朗粒子的瞬时速度v(t)仅在τ=0时才有相关性，在任何两个不同时刻的瞬时速度值互不相关。布朗粒子瞬时速度v(t)的波形为一串宽度无限窄、方向和大小变化极快的随机脉冲。
式（5）表明，布朗粒子瞬时速度v(t)的功率谱密度在整个频率轴[-∞，+∞]上均匀分布。N0的物理意义代表白噪声信号n(t)在单位电阻上产生的平均功率。
白噪声n(t) 在不同时刻的取值可以服从不同的概率分布，如果服从（0，σ2）正态分布，则称n(t)为高斯白噪声，此时N0=σ2。
2、运动方程
设x(0)=0，由式（3）的微分方程，可得质点在t时刻的位移：
（6）
式中的积分上限随时间t变化，因此式（6）的质点随机运动方程为非线性时变数学模型。
由式（6）的随机运动方程，可以推导出大量布朗粒子在t时刻的空间位置服从（0，σ2t）正态分布的结论[9]。
3、平均速度与位移公式
平均速度是指在某段时间内质点运动的位移与所用时间的比值，因此，随机运动的质点在区间[0，t]上的平均速度为
（7）
因此可得随机运动的质点位移公式：
（8）
即随机运动的质点位移等于其平均速度与时间的乘积，与牛顿力学中的质点位移公式完全一致。
4、位移自相关函数
由式（6）的质点随机运动方程，可推导出其位移自相关函数
（9）
式中t为时间间隔。
质点位移x(t)的自相关函数Rx(τ)在很宽的范围内不为零，一是说明不同时刻的位移x(t)具有相关性，未来的位移与历史位移之间存在某种程度的依赖关系；二是表明x(t)随时间缓慢波动，存在较大的惯性，因此，x(t)具有可预测性，质点的历史位移中存在可以识别和利用的规律。
5、位移幅频特性
从信号分析的角度看，随机运动的质点位移x(t)可看成是白噪声信号n(t)激励图3所示系统时的响应。
图3 质点随机运动系统模型
系统中的开关是一个非线性元件，其作用是将定义在[-∞，+∞]上的白噪声输入信号n(t)在 [0，t] 区间上截断，积分器对截断后的白噪声信号数据进行积分运算并产生输出x(t)，因此质点随机运动系统模型为非线性时变系统。
白噪声信号n(t)的功率谱密度在整个频率轴[-∞，+∞]上均匀分布，通过图3所示的系统后，系统输出x(t)的幅频特性就完全取决于系统本身的幅频特性，因此，可把质点随机运动规律的研究转变为对确定性非线性系统幅频特性的研究。
开关不可能对白噪声n(t)中的所有频率分量进行整周期截取，因此截断后的白噪声信号会因“频谱泄露”效应而产生直流分量，导致积分器的输出信号x(t)中出现与时间t成正比的线性趋势。
积分器是一种积分运算元件，其输出信号为输入信号对时间的积分，因此，白噪声信号n(t)通过积分器后，其中的低频分量被放大，高频分量被衰减，输出信号x(t)成为能量集中在低频段的红噪声。积分器具有记忆性，积分器当前时刻的输出不仅与当前时刻的输入有关，而且与之前所有时刻的输入有关，表明随机运动的质点位移x(t)具有“记忆性”或“相关性”。
图3所示随机运动系统模型的幅频特性为
(10)
式中ω为角频率，Sinc(ωt)为辛格函数。
Sinc(ωt)是正弦函数Sin(ωt)与单调递减函数1/ ωt的乘积，表明白噪声信号n(t)通过随机运动系统后，其中的低频分量被放大，高频分量被衰减被，白噪声n(t)被变换为能量集中在低频段的红噪声x(t)。
七、确定性和随机性的统一与转换
从式（8）的质点位移公式可以看出，质点的随机运动规律完全取决于其平均速度的特性，也就是说，取决于白噪声n(t) 在[0，t]区间上的算数平均值性质。
白噪声n(t)在[0，t]区间上的算数平均值反映了白噪声截断信号中的直流分量，在时间t的增大过程中，白噪声n(t)的算数平均值也会随时间t随机变化。由概率论大数定律可知，当时间t充分大时，白噪声n(t)的算数平均值会收敛于一个常数μ，因此有x(t)=μt，表明质点随机运动转换为匀速直线运动，x(t)趋于一条从原点发出的射线。
设白噪声n(t)的方差或平均功率为σ2，则白噪声n(t)算数平均值的方差为σ2/t，即随机运动质点平均速度的方差与时间t成反比。图4为一条质点平均速度随时间变化曲线。
图4 随机运动质点平均速度曲线
从图4的平均速度曲线可以看出，当时间t较小时，由于平均速度的方差较大，平均速度波动异常剧烈；当t逐渐变大时，平均速度的方差随时间不断变小，平均速度的波动幅度也逐渐变小；当t充分大时，平均速度的方差趋于零，平均速度收敛为一个常数，质点进入匀速直线运动状态。表明在微观尺度下呈现出很强随机性的布朗运动，在宏观尺度上具有稳定的确定性，或者说，液体中悬浮微粒的扩散过程在宏观尺度下表现为确定性的匀速直线运动，在微观尺度下表现为随机性的布朗运动。
式（10）的随机运动系统模型幅频特性|H(ω)|是用Sinc函数表述的，物理学中很多著名的现象都用Sinc函数来描述，例如夫琅和费单缝衍射的强度分布、矩形脉冲的频率分布和超导材料隧道结临界电流随外磁通的变化关系等。随机运动系统模型的幅频特性|H(ω)|曲线如图5所示。
图5 随机运动系统模型幅频特性
从图5可以看出，随机运动系统模型是一个典型的低通滤波器，只是其通带截至频率|π/t|，也就是低通滤波器的带宽随时间t的变化而变化。
当时间t趋于无穷小时，低通滤波器的带宽趋于无穷大，白噪声信号n(t)中所有频率的分量都可以通过系统，x(t)表现为完全随机的白噪声；当时间t无限增大时，低通滤波器的带宽趋于零，系统只允许白噪声信号n(t)中的直流分量通过，x(t)表现为确定性的斜坡信号。
从质点随机运动的平均速度性质和质点随机运动系统模型幅频特性可以看出，质点运动的随机性和确定性完全取决于观测的尺度，这种微观随机、宏观确定的对立统一现象在我们的日常生活和工作中司空见惯。例如任何用肉眼看起来非常光滑平整的固体表面，如制造集成电路使用的硅片，激光陀螺中的反射镜和纳米薄膜的制备衬底等，若用表面粗糙度测量仪检测，都会得到一条与布朗粒子位移曲线相似的表面微观轮廓曲线，对表面轮廓测量数据进行微分或高通滤波处理，就可得到与白噪声波形类似的表面粗糙度曲线。因此，式（6）的非线性时变运动方程也可用来描述宏观确定、微观随机的实际固体表面轮廓曲线。图6为用AFM原子力显微镜测得的硅片表面在10微米范围内的表面三维形貌图像和二维轮廓曲线。
图6 硅片表面微观形貌与微观轮廓
从宏观确定性物理量在微观尺度下具有随机性这一自然现象可以看出，即使测量仪器具有很高的测量精度，而且在测量过程中测量仪器也不对测量对象产生任何干扰，我们也不可能在微观尺度（精度）级别上精确测定出宏观物理量的准确值，也就是说，宏观确定性物理量在微观尺度上是不确定的（测不准），这就是所有可观测宏观物理量测量结果中，必然会存在随机误差的客观原因之一。
随机运动系统模型的幅频特性|H(ω)|与频率ω成反比，表明随机运动的质点位移曲线具有1/f分形特征，因此从非线性科学的角度看，布朗运动是一种混沌运动。事实上，式（6）的随机运动方程就是确定性非线性系统模型，它既可描述液体中悬浮微粒的微观随机性运动，也可描述悬浮微粒的宏观匀速直线运动，实现了确定性和随机性的综合统一与相互转化。
非线性科学认为混沌现象是在没有任何外部随机噪声作用下，由确定性非线性系统内部的非线性相互作用产生的，也就是说，混沌现象完全由确定性的原因所引起。质点随机运动学的系统模型幅频特性表明，混沌和确定性现象可由随机噪声激励确定性非线性系统而产生，因此，质点随机运动学揭示出了客观世界这个复杂巨系统的另外一种结构方式和运行机制。
八、结论
本文指出了爱因斯坦布朗运动理论将单个布朗粒子位移与时间之间的数量关系抽象为随机变量的研究方法错误，以及由此导致的理论与经验事实不符和理论内部出现逻辑悖论等一系列反常问题。本文将单个布朗粒子位移与时间之间的数量关系还原为时间函数，提出了“瞬时速度等于白噪声”的随机运动定律，采用公理化方法建立了非线性的质点随机运动学，不仅可描述并揭示单个布朗粒子和大量布朗粒子随机运动的数量关系、空间分布及变化规律，而且将液体中悬浮微粒的微观布朗运动和宏观匀速直线运动统一到同一个非线性时变运动方程中，证明了在微观尺度上表现出随机性的布朗运动，在中观尺度上具有混沌分形特征，在宏观尺度上为确定性的匀速直线运动，实现了微观随机、中观混沌和宏观确定的综合统一与相互转化。同时也验证了一个哲学基本原理：随机性和确定性是对立统一的关系，确定性存在于随机性之中，随机性是确定性的表现形式。我们用通俗的物理学语言来表述这一哲学原理：随机并非无规则，确定一定测不准。
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