数学概念是人脑对客观事物的数量关系和空间形式的思维反映。数学概念虽然远离了直观的经验世界，但却能更深刻地反映客观世界的本质。数学学科通常运用定义的形式来明确数学概念的内涵——对象 “质”的特征，及其外延——对象 “量”的范围。

数学概念也是建立数学理论和其它科学理论的基石，如果对数学概念所表达的内涵和外延出现误解和误用，则建立的科学理论就像基础不牢的高楼大厦一样，迟早会发生地动山摇般的坍塌。

随机过程是揭示和探讨客观世界动态随机现象数量关系及其变化规律的应用数学理论，本文指出了《随机过程》教科书在研究质点随机运动时，将质点位移与时间之间的数量关系抽象为随机变量，并用描述大量重复试验随机事件发生可能性的概率来度量随机游走每一步向右或向左可能性的大小，以及将随机过程样本函数当作随机变量等基本概念错误。

《随机过程》教科书中出现的基本概念错误不仅导致随机过程样本轨道研究对象发生错位，而且也为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。

一、函数概念错误

函数定义：在一个变化过程中，假设有两个变量  、  ，如果对于任意一个  都有唯一确定的一个  和它对应，则称变量  为变量  的函数，记作

其中变量  称为自变量，变量  称为函数。  的取值范围叫做函数的定义域，相应  的取值范围叫做函数的值域。

函数  的对应法则通常可用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示，如电路噪声、股票价格波动。

观察质点位移随时间变化的过程（图1），无论质点做确定性运动还是随机性运动，在每一个确定的时刻，都有唯一一个确定的质点位置与时间“一一对应”，因此，质点位移  与时间  之间的数量关系为函数关系。

        图1  质点位移与时间之间的数量关系

牛顿在研究质点运动现象和规律时，将质点在  时刻的位置  抽象为时间函数  ，从而建立了质点运动学和动力学理论。而《随机过程》教科书在研究质点位移与时间之间的数量关系时，竟将质点在  时刻的位置  抽象为  时刻的随机变量  。

《随机过程》教科书将质点位移与时间之间的数量关系抽象为随机变量，得出了一系列与事实不符的结论。例如，《随机过程》教科书将一个布朗粒子的位移  当作随机变量  ，得出了布朗粒子位移服从正态分布的结论（图2）。

         图2  布朗粒子位移曲线与正态分布

假设布朗粒子的位移  服从正态分布，则布朗粒子的位移曲线应具有如下两个特点：

（1）对称性。绝对值相等的正、负位移出现的次数大致相等。

（2）集中性。布朗粒子在0点附近出现的次数最多。

但从图2的布朗粒子位移曲线可以看出，布朗粒子随时间远离原点，其位移曲线既不符合正态分布的对称性，也不符合正态分布的集中性。

事实上，爱因斯坦布朗运动理论关于“布朗运动服从正态分布”的结论指的是大量布朗粒子在某一时刻的空间位置分布（图3），而不是具体某一个布朗粒子的位移性质。大量布朗粒子在  时刻的位移值  ，  ，…，  ，…是随机变量  在  时刻的状态或取值，  服从（  ，  ）正态分布，表明所有布朗粒子都随时间向远离原点的方向扩散。

         图3  爱因斯坦布朗运动正态分布

质点位移与时间之间的数量关系是时间函数（图1），但《随机过程》教科书却将质点位移与时间之间的数量关系抽象为随机变量（图3）,无形中将研究对象从一个质点改变为大量质点，必然会得出一系列与事实不符的结论。

二、概率概念错误

概率定义：在相同条件下重复进行  次试验，其中事件  发生的次数为  ，如果随着试验次数  的增多，事件  发生的频率  会稳定在某个常数  附近，那么这个常数  就叫做事件  的概率。

从概率定义可以看出，概率  是描述试验次数  足够大时随机事件发生可能性大小的数量指标，概率  不能用来描述试验次数  较小，特别是  时的随机事件发生可能性。但是《随机过程》教课书恰恰就用概率  来度量  时的随机事件发生可能性的大小。

以一维随机游走为例，《随机过程》教课书是这样定义随机游走的：设想一个质点在直线的整数点上运动，假设质点从原点出发，每隔  时间以概率  向右移动一步，或以概率  向左移动一步，则定义质点在第  步时的位置  为从原点出发的随机游走。

当  时，可用抛掷一枚均匀硬币来模拟随机游走，若每次抛掷硬币的结果为正面向上，则质点向右移动一步；如果为反面向上，则质点向左移动一步。

                         图4  一维随机游走

对于抛硬币试验，当试验次数  较小时，实际频率变化剧烈，频率没有稳定性。例如  时，频率只有  和  两个取值，远离概率  。只有当试验次数  充分大时，频率才会逐渐稳定于概率  。表1为历史上一些著名数学家的抛硬币试验结果。

概率  是描述抛硬币试验次数  充分大时的统计参数，不能用来描述一次抛硬币结果出现正面或反面可能性的大小。这就如同物理学中的温度是用来度量分子集体热运动平均动能的统计参数，不是指一个分子的动能。

对于从原点出发的一维简单随机游走，当步数  充分大时，质点向左与向右的步数会大致相等，各占步数  的比例会逐渐稳定于概率  。当步数  时，频率不是  就是  ，不存在稳定的频率值，因此，《随机过程》教课书用概率来描述  时质点向左或向右的可能性，是对概率定义的内涵及外延出现了根本性的理解错误和应用错误。

《随机过程》教课书用概率  和  来描述每一次抛硬币将出现正面和反面的可能性，或用概率  和  描述随机游走每一步向右或向左的可能性，这就如同用温度来度量一个分子的动能一样荒谬，由此推导出的随机游走性质及结论必然与事实不符。

随机游走第  步时的位置  是步数  或时间  的函数，用概率  和  描述每一步向右和向左的可能性，意味着《随机过程》教课书将质点位移  当作随机变量  ，无形中导致研究对象从一个质点改变为大量质点。

三、随机过程概念错误

随机过程定义：依赖参数  的一族随机变量  {  }称为随机过程。

事实上，  是定义在  上的二元函数  。

对于固定的时间  ，  是状态  的函数，称为随机变量，简记为  ；对于固定的状态  ，  是时间  的函数，称为样本函数或样本轨道，简记为  。

一个样本函数  对应着随机试验中的一次“测量结果”，即人们观察到的实际随机现象随时间演变的过程，如图2所示的布朗粒子位移曲线或股票价格收盘价曲线，因此  也被称为随机过程的一个“实现”。

下图为随机过程  、随机变量  和样本函数  三者之间的关系示意图。

图5  随机过程定义

图中的三条样本函数曲线  ，  和  可分别看成是三个随机运动质点的位移曲线，所有质点在  时刻的位置（图中红点）就是随机变量  在  时刻的状态。

随机过程  即可成是大量随机变量  的集合，也可看成是所有样本轨道  的集合。

从上图可以看出，随机变量  和样本函数  描述的是完全不同的物理现象。随机变量  用来描述大量质点在某一时刻的空间位置分布特性，样本函数  则用来描述一个质点的位移随时间变化过程。

根据随机过程的定义，随机变量  和样本轨道  是两个具有不同定义域及值域的单值函数，  ，但是，《随机过程》教科书在研究随机游走和布朗运动样本轨道的性质时，混淆了样本轨道与随机变量之间的区别，将样本轨道  当作随机变量  ，令  ，无形中使研究对象从一条样本轨道改变为所有样本轨道的集合，并将随机变量  的统计特性当作样本函数  随时间的演变规律，因而得出了“布朗运动样本轨道服从正态分布”、“布朗运动样本轨道处处不可导”和“布朗运动的位移与时间的平方根成正比”等一系列谬误。

根据爱因斯坦布朗运动理论“同一个布朗粒子在不同微小时间间隔中的运动相互独立”或维纳过程定义“布朗运动为平稳独立增量过程”的假设，可以直接得出单个布朗粒子的瞬时速度为白噪声的结论。

事实上，美国得克萨斯大学的李统藏在2010年成功地测量到了单个布朗粒子的瞬时速度，其波形为白噪声（图6）。李统藏的实验结果表明：布朗运动样本轨道的导数不仅存在，而且可观测。

图6 布朗粒子瞬时速度

李统藏的布朗粒子瞬时速度测量结果在《科学》杂志上发表后在全球引起了极大反响，《科学》杂志专门为李统藏的论文配发了录音采访，《自然》杂志随后也迅速报道了该实验。

李统藏的布朗粒子瞬时速度测量实验被Science杂志推荐为高中及大学教学内容，美国明尼苏达大学等学校的相关课程已经将该实验作为教学内容。

四、各态历经随机过程与非平稳随机过程

有一种平稳随机过程，对其任何一个样本函数  所做的各种时间平均，在概率意义上趋近于随机变量  的各种统计平均，则称之为具有各态历经性的随机过程。

各态历经随机过程的任何一个样本函数  都经历了随机过程  的所有可能状态，因此可用任何一个样本函数  的时间平均来代替  的统计平均或集合平均，简化随机现象的测量和计算过程，给解决实际问题带来极大的方便。

但是对于布朗运动这类非平稳随机过程，样本轨道  具有确定性的扩散趋势，只存在空间意义上的统计特性，而无时间意义上的统计特性。因此研究非平稳随机过程的随机变量  和样本函数  的变化规律时，要分别采用概率分析方法和函数分析方法来研究其随机变量  的空间统计特性和样本函数  的时间变化规律。

五、随机过程学科面临重大范式变革

随机过程是以数学为工具，探讨解决自然科学、工程技术和社会科学等领域中随机现象和实际问题的应用数学学科，《随机过程》教科书中出现的函数、概率和随机过程基本概念错误，无形中导致随机过程的研究对象从样本函数改变为随机变量，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。“与实际结合，问题驱动”是随机过程等应用数学学科发展的不竭动力和重要特征，因此，随机过程学科必须要迅速纠正现有《随机过程》教科书中的基本概念和研究方法错误，在时间函数范式下重建随机过程样本轨道理论。随机过程样本轨道研究方法的变革，将颠覆和改变现有自然科学、工程技术和社会科学对动态随机现象的认识，引发一场持久广泛的科学革命，为中国的随机过程学科进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。