一、随机游走模型及方差

《随机过程》教科书给出了一维简单随机游走模型的定义及方差。

设、，…，为独立同分布随机变量，

定义

为从原点  出发的一维简单随机游走。

由  的定义，可直接得出  的方差

上式说明  的方差具有如下两个重要性质：

（1）  在原点  的方差为零，  ；

（2）  在第  步时的方差等于  ，  ,  。

从上述两条性质可以得出结论

结论1：  时，  ，  。

 和  始终是方差不同的两个随机变量，表明  永远也回不到初始状态  。

二、Polya随机游走定理

Polya随机游走定理：一维或二维简单随机游走是常返的。

常返性表明：

即从  出发的一维随机游走  访问  无穷多次的概率为1。

三、反证法证明

假设一维随机游走  在第  步时（，包括趋于）访问原点  ，此时有

则  的方差为

这与  矛盾，证明随机游走  在第  步时回到原点  的假设不成立，表示一维简单随机游走  不可能回到原点  。

结论2：一维简单随机游走的常返性与方差  在逻辑上不能自洽。

事实上，从结论1可以看出，一维简单随机游走常返性的前提  根本就不存在。

四、文章证明方法简要说明

依据一维简单随机游走的方差公式

得出了

 时，  ， 

表明 永远也不可能回不到  ,与教科书结论不一致。