波动率（Volatility）是期权定价理论中度量金融资产价格波动程度的一个统计参数，对于量化分析、投资决策、资产定价、最优配置、风险管理及市场监管具有相当重要的意义。

一、布朗运动扩散系数：

1827 年，英国植物学家布朗使用显微镜观察悬浮在液体中的花粉微粒时，发现微粒总是在做无规则的运动。后来人们发现，这是一种广泛存在于自然界、工程技术和人类社会中的动态随机现象。

1905年，爱因斯坦首先使用概率分析方法对布朗运动进行了定量研究，并从热分子运动扩散方程推导出了大量一维布朗粒子位置在时刻的概率密度函数。

式中为扩散系数。

从式（1）可以看出，大量一维布朗粒子在时刻的位置服从均值为零、方差为的正态分布，扩散系数可用来描述大量布朗粒子偏离原点的扩散速度。

1923年，维纳根据式（1）的爱因斯坦布朗运动物理模型，归纳总结出了布朗运动的数学定义。

定义：设{，≥0}为随机过程，如果

（1）{，≥0}为平稳独立增量过程；

（2） ；

（3）对任意的， 服从参数为的正态分布，其中为常数。

则称是参数为的布朗运动，或维纳过程。当时，称为标准布朗运动，记为。

显然，维纳过程的方差为

随机过程的标准差是用来刻画随机变量偏离均值分散程度的数字特征，度量的是大量样本轨道偏离均值的发散程度，其物理意义与扩散系数相同。

图1为1000个一维布朗粒子的位移曲线，这1000个布朗粒子在时刻的位置就是随机变量的状态， 服从参数为的正态分布，描述了大量布朗粒子偏离原点的扩散速度。

             图1 布朗运动

标准差  不仅能度量大量布朗粒子偏离均值的发散程度，还能给出大量布朗粒子（样本轨道）位于、 和范围内的概率分别为68.3%、95.4%和99.7%。

图2为一个布朗粒子位移曲线的微分（瞬时速度），为服从正态分布的高斯白噪声。因此，标准差也可用来度量一个布朗粒子瞬时速度的大小。

          图2 布朗粒子瞬时速度

二、波动率定义

图3为上证指数的日收益率，与图2所示的布朗粒子瞬时速度完全相似，为白噪声序列。将不同时刻的上证指数对数收益率作为样本点进行统计分析，其均值为0.0002，标准差=0.02，最大波动幅度为±0.09，近似服从正态分布。

          图3 上证指数收益率（日）

期权定价理论根据股票价格的收益率为白噪声序列的实证研究结果，建立了下面的下面的几何布朗运动模型

式中为时刻的股票价格，为漂移率，为波动率。

注意：期权定价理论错误地将股票价格假设为随机变量，从式（3）的几何布朗运动模型得出了对数股票价格服从正态分布的结论，的方差为

期权定价理论将股票价格日收益率的标准差定义为股票价格波动率，可根据式（4）计算出未来时刻的股票价格波动程度

式中为时刻的股票价格波动率。

例如，上证指数日收益率的标准差=0.02，按1年250个交易日计算，上证指数的年波动率（标准差）约为32%，也就是说，上证指数一年内在 %范围内波动的概率为68.3%，在 %范围内波动的概率为95.4%，在 %范围内波动的概率为99.7%。

三、波动范围与事实不符

根据式（5）的波动率计算公式，股票价格未来时刻在范围内波动的概率为99.73%，这表明对数股票价格的波动范围会随时间的平方根不断增大，即的波动范围会越来越大（图4）。

          图4 波动率定义的股票价格波动范围

图5为道琼斯工业平均指数的对数价格曲线，100多年来始终在固定宽度的线性通道范围内波动运行。股票价格可预测性证明从“股票价格收益率为白噪声序列”的实证研究结果出发，也推导出了对数股票价格在线性通道内运行的结论。

          图5 道琼斯工业平均指数

根据波动率定义推导出的“股票价格波动范围与时间的平方根成正比”的结论，与实际股票价格在线性通道内运行的观察结果严重不符。

四、波动率的物理意义

期权定价理论将视为服从正态分布的随机变量，则可用维纳过程进行描述，波动率就是维纳过程的标准差，与布朗运动扩散系数具有相同的物理意义，是度量大量布朗粒子扩散速度或大量样本轨道偏离均值程度的数字特征，不能用来度量一个布朗粒子位移曲线或一条样本轨道的波动程度。

五、波动率的度量对象错位

期权定价理论将股票价格假设为随机变量，因而只能用描述随机变量偏离均值程度的标准差（波动率）来度量股票价格的波动程度，无形中使波动率的度量对象从一条样本轨道改变为大量样本轨道的集合，因此，波动率无法正确度量实际股票价格的波动程度。

图6是式（3）几何布朗运动模型描述的随机过程，股票价格只是其中的一条样本轨道。波动率描述的是所有样本轨道相对均值的发散程度，而不是一条样本轨道的波动程度。

          图6 几何布朗运动模型波动率

参考：

（1）为什么股票价格不是随机变量？

（2）反证法证明股票价格不是随机变量

（3）为什么股票价格不服从对数正态分布？